【高级人工智能】国科大《高级人工智能》符号主义笔记

创始人

2024-05-08 14:59:36

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国科大《高级人工智能》罗老师部分——符号主义笔记

罗老师上课很有意思，但是这部分内容还是挺难理解的，需要仔细思考
今年考试题目这部分跟往年不一样，老师讲的重点（A搜索+归结原理）也没考😅

文章目录

几个概念
一、语义 Entailment 蕴含
- 1.定义
- 2.命题逻辑：语法与语义
- 3.命题逻辑中的知识库KB
- 4.什么是valid和satisfiable
二、形式推演 Deduction
- 1.定义：
- 2.归结原理（Resolution）
三、Inference over Horn and Definite Clauses
- 1.一些概念
- 2.肯定式推理Modus Ponens
四、一阶谓词逻辑
- 1.基本形式
- 2.实例化
- 3.合一化（理解为某种替代）
- 4.一阶谓词逻辑的归结原理(重要)
- 5.逻辑编程：Prolog
五、模糊逻辑
- 1.定义
- 2.模糊集的表示
六、考试题目整理
- 1.选择题
- 2.简答题
- 3.综合应用题

几个概念

逻辑：表示信息以便得出结论的形式语言
语法：定义语言中的句子
语义：定义句子的意思
逻辑研究的内容：研究形式化定义的 sentences 之间的关系
两个角度：
- 语义：entailment 蕴含，逻辑推导
- 语法：inference 演绎，形式推演

一、语义 Entailment 蕴含

1.定义

是基于语义的句子(即句法)之间的一种关系
KB⊨αKB\models\alpha KB⊨α
知识库KB蕴涵句子α\alphaα，当且仅当α\alphaα在KB为真的所有世界（代指 Model）中为真。
（这个定义要记住）

Model：使sentence为真的assignment（真值指派），即为model

重点：当且仅当M(KB)⊆M(α)M(KB)\subseteq M(\alpha)M(KB)⊆M(α)时，KB⊨αKB\models\alphaKB⊨α（证⊨\models⊨，找Model）

在这里插入图片描述

2.命题逻辑：语法与语义

语法（Syntax）：定义语言中的句子；
命题（Proposition）：一个陈述句，要么是对的，要么是错的；
原子命题（Atomic propositions）：最小的命题；
文字（Literals）：原子命题或它们的否定；
语义（Semantics）：每个模型指定每个命题符号的真/假。
在这里插入图片描述
注：⊨\models⊨不是命题的合法句子

证明：
在这里插入图片描述
语义等价转换

3.命题逻辑中的知识库KB

KB：满足命题逻辑语法的 sentence 的集合；
假设：这组 sentence 中，一共有n个原子命题；
真值指派（truth assignment）：对每个原子命题赋值；
一共有2^n种真值指派，其中：使得KB中的每个sentence都为真的真值指派，就是KB的model；
在此基础上，在命题逻辑中，我们可以明确的定义：
KB⊨αKB\models\alpha KB⊨α

Entailment (⊨\models⊨)：逻辑上的概念，刻画两组sentence之间的关系；
Implication (¬,∧,∨,⟹,⟺)：Proposition（命题）之间的一种运算子，用真值表刻画语义。

4.什么是valid和satisfiable

一个句子是valid，如果他在所有模型都是 true
一个句子是satisfiable，如果他在存在true的模型

几个证明题：

（之前考过）

5.总结：蕴含的三个等价条件：

二、形式推演 Deduction

1.定义：

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有两种：11条规则 + 1条规则（归结原理）
Inference：可靠性证明+完备性证明（见上图）

2.归结原理（Resolution）

1）合取范式Conjunctive Normal Form (CNF—universal)
目的是将一些列命题用∧和∨连起来，具体步骤如下：
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2）归结：

3）证明归结原理的可靠性与完备性：
可靠性（Sound）：If KB⊢αKB\vdash\alphaKB⊢α，that KB⊨αKB\models\alphaKB⊨α
sound的证明方法很简单，只要check一次resolution的过程是正确的(利用真值表)，实际上就是去证明这个子句合取第二个子句可以蕴含下面那个子句。【用真值指派的方法】

完备性：If KB⊨αKB\models\alphaKB⊨α，that KB⊢αKB\vdash\alphaKB⊢α
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4）归结原理+A*搜索

A*搜索：要设计好一个启发式函数，可以通过原问题的松弛问题的解来进行求解
初始状态：{KB，!a}
目标：goal（goal包含空集）
每次的动作：选一个可以归结的原子命题进行归结。
启发函数：所有包含a的句子里找一个最短的，假定这个最短的句子是有k个原子命题。现在已经有!a了，那至少也要做k次归结才能归结出空集，那启发函数就是h()=k。这个估计耗散一定小于等于真实耗散，它是可采纳的。
例外的情况：KB推不出a，那就不会有包含空集的goal，那就如果找不到可以归结的原子命题，那搜索就停止。

三、Inference over Horn and Definite Clauses

1.一些概念

“负文字”(negative literal)：文字包含否定符号(¬)；否则称为“正文字”(positive literal)。
Definite clause：有且只有一个正文字
Horn clause：最多只有一个正文字

2.肯定式推理Modus Ponens

在这里插入图片描述
可靠性证明：If KB⊢αKB\vdash\alphaKB⊢α，that KB⊨αKB\models\alphaKB⊨α

与归结原理一样，用真值表，即证明：
在这里插入图片描述

完备性证明：If KB⊨αKB\models\alphaKB⊨α，that KB⊢αKB\vdash\alphaKB⊢α
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注：p是包含变量的句子，p-theta就是按theta赋值，所以p也是蕴含p-theta的

四、一阶谓词逻辑

1.基本形式

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全称-存在转化：

2.实例化

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3.合一化（理解为某种替代）

理解为某种替换（合一的算子）
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4.一阶谓词逻辑的归结原理(重要)

1）归结原理（-替换）
在这里插入图片描述

2）合取范式
①去掉存在量词及其修饰的变量使每个都使全称量词修饰的变量
②消去biconditionals（⇔\Leftrightarrow⇔）和implications（⇒\Rightarrow⇒）
③把⌝\urcorner┐放到里面去
④标准化变量（有些变量不是同一个object，要用不同的变量表示）
⑤Skolemize：用关于x的函数表示依赖于x的变量
⑥通用的全称量词删掉
⑦展开在析取上的合取
Eg：
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3）归结策略