​🌠 作者：@阿亮joy.
🎆专栏：《吃透西嘎嘎》
🎇 座右铭：每个优秀的人都有一段沉默的时光，那段时光是付出了很多努力却得不到结果的日子，我们把它叫做扎根

目录

• • 👉AVL树👈
  • • AVL树的概念
    • AVL树节点的定义
    • AVL树的插入
    • AVL树的旋转
    • AVL树的验证
    • AVL树的删除(了解)
    • AVL树的性能
    • AVL树的完整代码
  • 👉总结👈

👉AVL树👈

AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家 G.M.Adelson-Velskii 和 E.M.Landis 在 1962 年
发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

AVL 树也称为高度平衡二叉搜索树，其满足以下性质：

• 它的左右子树都是 AVL 树（注：空树也是 AVL 树）
• 左右子树的高度差（简称平衡因子）的绝对值不超过 1（-1 / 0 / 1）（注：无法保证左右子树的高度差永远为 0）
• 平衡因子等于右子树高度减去左子树高度，平衡因子是非必须的，我们用的话方便实现 AVL 树。
  
  

如果一颗二叉搜索树是高度平衡的，它就是 AVL 树。如果它有 N 个节点，其高度可保持在O(log2N)O(log_2 N)O(log2​N) ，查找和插入的时间复杂度为O(log2Nlog_2 Nlog2​N) 。

AVL树节点的定义

template 
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode* _parent;	// 父节点AVLTreeNode* _left;	// 左孩子AVLTreeNode* _right;	// 右孩子pair _kv;	// 键值对int _bf;	// balance factor(平衡因子)AVLTreeNode(const pair& kv): _parent(nullptr), _left(nullptr), _right(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}
};

AVL 树的节点是三叉链结构的，因为插入节点可能会影响父节点的平衡因子，有了指向父节点的指针会方便我们进行平衡因子的更新和旋转操作。新插入的节点的平衡因子都是 0。

AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

调整节点的平衡因子

bool Insert(const pair& kv)
{// 树为空,新插入的节点就是根节点if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}// 按照二叉搜索树的方式插入节点Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else	// 树中已经存在Key{return false;}}// 插入节点cur = new Node(kv);// 判断在父节点的哪一边插入if (parent->_kv.first < kv.first)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;cur->_parent = parent;// 控制平衡并更新平衡因子// 更新平衡因子的最坏情况需要更新到根节点while (parent){// 新插入节点在父节点的右边,则父节点平衡因子自加一if (cur == parent->_left)--parent->_bf;else++parent->_bf;if (parent->_bf == 0)	// 不需要继续往上更新{break;}else if (abs(parent->_bf) == 1)	// 继续往上更新{parent = parent->_parent;cur = cur->_parent;}else if (abs(parent->_bf) == 2){// 说明parent所在的子树已经不平衡了,需要旋转处理if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)RotateL(parent);else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)RotateR(parent);else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)RotateLR(parent);else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)RotateRL(parent);else	// 理论上不会走到这里assert(false);break;}else	// 理论上不会走到这里{assert(false);}}return true;
}

AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的 AVL 树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL 树的旋转分为四种：左单旋、右单旋、左右双旋和右左双旋。注：旋转操作可能对整棵树做，也可能对子树做。旋转的原则是：旋转成平衡数并且符合二叉搜索树的规则。一次插入，最多一次旋转。

节点插入在较高右子树的右侧时，需要左单旋

注：当parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1时，此时需要对parent所在的子树进行左单旋。parent和subR不可能为空，subRL可能为空。更新subR的父指针是需要需要parent是否是根节点。

void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)	// subRL不为空,其父指针且才能指向parentsubRL->_parent = parent;// 记录parent的父亲Node* ppNode = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;// parent就是根节点时,则需要将subR更新为根节点,subR的父指针指向nullptrif (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{// 判断原父节点在左边还是右边if (ppNode->_left == parent)ppNode->_left = subR;elseppNode->_right = subR;subR->_parent = ppNode;}// 更新平衡因子parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

节点插入在较高左子树的左侧时，需要右单旋。右单旋和左单旋是一致的。

注：当parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1时，此时需要对parent所在的子树进行右单旋。parent和subL不可能为空，subLR可能为空。更新subL的父指针是需要需要parent是否是根节点。

void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;// subLR不为空时,其父指针才能指向parentif (subLR)subLR->_parent = parent;Node* ppNode = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;// parent就是根节点时,则需要将subR更新为根节点,subR的父指针指向nullptrif (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent)ppNode->_left = subL;elseppNode->_right = subL;subL->_parent = ppNode;}// 更新平衡因子parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

节点插入在较高左子树的右侧时，需要左右双旋。当parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1时，需要进行左右双旋：先对subL进行左单旋，再对parent进行右单旋。

// 左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;// 通过subLR的平衡因子来区分各种情况int bf = subLR->_bf;// 先左单旋再右单旋RotateL(subL);RotateR(parent);subLR->_bf = 0;if (bf == 1)	// 在c插入新节点{parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == 0)	// 新增节点就是自己{parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else if (bf == -1)	// 在b插入新节点{parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;}else	// 理论上不会走到这里{assert(false);}
}

节点插入在较高右子树的左侧时，需要右左双旋。当parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1时，需要进行左右双旋：先对subR进行右单旋，再对parent进行左单旋。

// 右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;// 通过subRL的平衡因子来区分各种情况int bf = subRL->_bf;// 先右单旋再左单旋RotateR(subR);RotateL(parent);subRL->_bf = 0;if (bf == 1)	// 在c插入新节点{parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;}else if (bf == 0)	// 新增节点是自己{parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else if (bf == -1)	// 在b插入新节点{parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else	// 理论不会走到这里{assert(false);}
}

总结： 假如以 pParent 为根的子树不平衡，即 pParent 的平衡因子为 2 或者 -2，分以下情况考虑：

1. pParent 的平衡因子为 2，说明 pParent 的右子树高，设 pParent 的右子树的根为 pSubR
   • 当 pSubR 的平衡因子为 1 时，执行左单旋
   • 当 pSubR 的平衡因子为 -1 时，执行右左双旋
2. pParent 的平衡因子为 -2，说明 pParent 的左子树高，设 pParent 的左子树的根为 pSubL
   • 当 pSubL 的平衡因子为 -1 时，执行右单旋
   • 当 pSubL 的平衡因子为 1 时，执行左右双旋

旋转完成后，原以 pParent 为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

现在已经将 AVL 树的旋转写完了，那么现在就来验证一下写得对不对。

AVL树的验证

AVL 树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证 AVL 树，可以分两步：1、验证其为二叉搜索树：如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树。2、验证其为平衡树：节点的平衡因子是否计算正确，每个节点子树高度差的绝对值不超过 1(注意节点中如果没有平衡因子)。

public:// 判断是否是平衡树bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}// 中序遍历判断是否是二叉搜索树void InOrder(){return _InOrder(_root);}private:// 求二叉树的高度int Height(Node* parent){if (parent == nullptr)return 0;return max(Height(parent->_left), Height(parent->_right)) + 1;}bool _IsBalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);int diff = rightHeight - leftHeight;return abs(diff) < 2&& _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}

测试样例

void AVLTreeTest1()
{size_t N = 1000;srand(time(nullptr));AVLTree t;for (size_t i = 0; i < N; ++i){int x = rand();t.Insert(make_pair(x, i));}t.InOrder();cout << endl;cout << "IsBalance:" << t.IsBalance() << endl;
}void AVLTreeTest2()
{int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };  // 测试双旋平衡因子调节//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };AVLTree t1;for (auto e : a){t1.Insert(make_pair(e, e));}t1.InOrder();cout << "IsBalance:" << t1.IsBalance() << endl;
}

AVL树的删除(了解)

因为 AVL 树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子。最差情况下，需要一直要更新到根节点的位置。

具体实现大家可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。

AVL树的性能

AVL 树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过 1，这样可以保证查找高效的时间复杂度，即 log2Nlog_2 Nlog2​N。但是如果要对 AVL 树做一些结构修改的操作，性能非常低下。比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多。更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的（即不会改变），可以考虑 AVL 树，但一个结构经常修改，就不太适合。

AVL树的完整代码

#pragma oncetemplate 
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode* _parent;AVLTreeNode* _left;AVLTreeNode* _right;pair _kv;int _bf;	// balance factorAVLTreeNode(const pair& kv): _parent(nullptr), _left(nullptr), _right(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}
};template 
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode Node;
public:bool Insert(const pair& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}// 插入节点cur = new Node(kv);// 判断在父节点的哪一边插入if (parent->_kv.first < kv.first)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;cur->_parent = parent;// 控制平衡并更新平衡因子while (parent){// 新插入节点在父节点的右边,则父节点平衡因子自加一if (cur == parent->_left)--parent->_bf;else++parent->_bf;if (parent->_bf == 0){break;}else if (abs(parent->_bf) == 1){//cur = parent;//parent = parent->_parent;parent = parent->_parent;cur = cur->_parent;}else if (abs(parent->_bf) == 2){// 说明parent所在的子树已经不平衡了,需要旋转处理if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)RotateL(parent);else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)RotateR(parent);else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)RotateLR(parent);else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)RotateRL(parent);elseassert(false);break;}else{assert(false);}}return true;}bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}void InOrder(){return _InOrder(_root);}private:void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* ppNode = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{// 判断原父节点在左边还是右边if (ppNode->_left == parent)ppNode->_left = subR;elseppNode->_right = subR;subR->_parent = ppNode;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* ppNode = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent)ppNode->_left = subL;elseppNode->_right = subL;subL->_parent = ppNode;}parent->_bf = subL->_bf = 0;}// 左右双旋void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;// 通过subLR的平衡因子来区分各种情况int bf = subLR->_bf;// 先左单旋再右单旋RotateL(subL);RotateR(parent);subLR->_bf = 0;if (bf == 1)	// 在c插入新节点{parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == 0)	// 新增节点就是自己{parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else if (bf == -1)	// 在b插入新节点{parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;}else{assert(false);}}// 右左双旋void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;// 通过subRL的平衡因子来区分各种情况int bf = subRL->_bf;// 先右单旋再左单旋RotateR(subR);RotateL(parent);subRL->_bf = 0;if (bf == 1)	// 在c插入新节点{parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;}else if (bf == 0)	// 新增节点是自己{parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else if (bf == -1)	// 在b插入新节点{parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else{assert(false);}}int Height(Node* parent){if (parent == nullptr)return 0;return max(Height(parent->_left), Height(parent->_right)) + 1;}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}bool _IsBalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);int diff = rightHeight - leftHeight;return abs(diff) < 2&& _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);}private:Node* _root = nullptr;
};

👉总结👈

本篇博客主要讲解了什么是 AVL 树、AVL 树的插入、旋转、验证等等。那么以上就是本篇博客的全部内容了，如果大家觉得有收获的话，可以点个三连支持一下！谢谢大家！💖💝❣️