题目来源于武老师的每日一题，答案是自己做的，不太严谨，仅供参考

2022年11月1日

知识点：函数定义域

答案：
函数定义域是指自变量x的取值范围，不可以把x+1作为自变量，x才是自变量，同一个f()，括号内整体范围相同。由题意得0⩽x⩽a⇒1⩽x+1⩽a+1，所以f(x)定义域为[1,a+1]\text{函数定义域是指自变量}x\text{的取值范围，不可以把}x+1\text{作为自变量，}x\text{才是自变量，} \\ \text{同一个}f()\text{，括号内整体范围相同。由题意得}0\leqslant x\leqslant a\Rightarrow 1\leqslant x+1\leqslant a+1\text{，所以}f\left( x \right) \text{定义域为}\left[ 1,a+1 \right] 函数定义域是指自变量x的取值范围，不可以把x+1作为自变量，x才是自变量，同一个f()，括号内整体范围相同。由题意得0⩽x⩽a⇒1⩽x+1⩽a+1，所以f(x)定义域为[1,a+1]

2022年11月2日

知识点：函数定义域

答案：
f[φ(x)]=1−x2,f(x)=ex2⟹eφ2(x)=1−x,两边同时求ln⁡,φ2(x)=ln⁡(1−x)由题意得φ(x)≥0,两边开根号,φ(x)=ln⁡(1−x),负半边不要了，只留正的。定义域：ln⁡(1−x)≥0⇒1−x≥1⇒x≤0f\left[ \varphi \left( x \right) \right] =1-x^2,f\left( x \right) ={e^x}^{^2}\Longrightarrow e^{\varphi ^2\left( x \right)}=1-x,\text{两边同时求}\ln ,\varphi ^2\left( x \right) =\ln \left( 1-x \right) \\ \text{由题意得}\varphi \left( x \right) \ge 0,\text{两边开根号},\varphi \left( x \right) =\sqrt{\ln \left( 1-x \right)},\text{负半边不要了，只留正的。定义域：}\ln \left( 1-x \right) \ge 0\Rightarrow 1-x\ge 1\Rightarrow x\le 0 f[φ(x)]=1−x2,f(x)=ex2⟹eφ2(x)=1−x,两边同时求ln,φ2(x)=ln(1−x)由题意得φ(x)≥0,两边开根号,φ(x)=ln(1−x)​,负半边不要了，只留正的。定义域：ln(1−x)≥0⇒1−x≥1⇒x≤0

2022年11月3日

知识点：复合函数

答案：

g(x)={2−x,x≤0x+2,x≥0,f(x)={x2,x<0−x,x≥0,f(x)是g(x)的复合函数x2,x<0但是x2>0,−x,x≥0但是−x<0,所以g[f(x)]={2+x,x≥0x2+2,x<0,注意x的取值，与f(x)的取值是一致的g\left( x \right) =\begin{cases} 2-x, x\le 0\\ x+2,x\ge 0\\ \end{cases},f\left( x \right) =\begin{cases} x^2, x<0\\ -x,x\ge 0\\ \end{cases},f\left( x \right) \text{是}g\left( x \right) \text{的复合函数} \\ x^2,x<0\text{但是}x^2>0,-x,x\ge 0\text{但是}-x<0,\text{所以}g\left[ f\left( x \right) \right] =\begin{cases} 2+x^{}, x\ge 0\\ x^2+2,x<0\\ \end{cases},\text{注意}x\text{的取值，与}f\left( x \right) \text{的取值是一致的} g(x)={2−x,x≤0x+2,x≥0​,f(x)={x2,x<0−x,x≥0​,f(x)是g(x)的复合函数x2,x<0但是x2>0,−x,x≥0但是−x<0,所以g[f(x)]={2+x,x≥0x2+2,x<0​,注意x的取值，与f(x)的取值是一致的

2022年11月4日

知识点：反函数

答案：

把f(x)分段拆开来看,当x<−1,y=1−2x2⇒x=±1−y2,因为x<−1,x=−1−y2,x=−1时,y=−1,所以x=−1−y2,y<−1。当−1≤x≤2时,y=x3⇒x=y3,当x=−1时,y=−1,当x=2时,y=8所以x=y3,−1≤y≤8。当x>2时,y=12x−16⇒x=y+1612,x=2,y=8,所以x=y+1612,y>8。把y换成x,g(x)={−1−x2,x<−1x3,−1≤x≤8x+1612,x>8\text{把}f\left( x \right) \text{分段拆开来看},\text{当}x<-1,y=1-2x^2\Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{1-y}{2}},\text{因为}x<-1,x=-\sqrt{\frac{1-y}{2}},x=-1\text{时},y=-1,\text{所以}x=-\sqrt{\frac{1-y}{2}},y<-1\text{。} \\ \text{当}-1\le x\le 2\text{时},y=x^3\Rightarrow x=\sqrt[3]{y},\text{当}x=-1\text{时},y=-1,\text{当}x=2\text{时},y=8\text{所以}x=\sqrt[3]{y},-1\le y\le 8\text{。} \\ \text{当}x>2\text{时},y=12x-16\Rightarrow x=\frac{y+16}{12},x=2,y=8,\text{所以}x=\frac{y+16}{12},y>8\text{。} \\ \text{把}y\text{换成}x,g\left( x \right) =\left\{ \begin{array}{c} -\sqrt{\frac{1-x}{2}},x<-1\\ \sqrt[3]{x},-1\le x\le 8\\ \frac{x+16}{12},x>8\\ \end{array} \right. 把f(x)分段拆开来看,当x<−1,y=1−2x2⇒x=±21−y​​,因为x<−1,x=−21−y​​,x=−1时,y=−1,所以x=−21−y​​,y<−1。当−1≤x≤2时,y=x3⇒x=3y​,当x=−1时,y=−1,当x=2时,y=8所以x=3y​,−1≤y≤8。当x>2时,y=12x−16⇒x=12y+16​,x=2,y=8,所以x=12y+16​,y>8。把y换成x,g(x)=⎩⎨⎧​−21−x​​,x<−13x​,−1≤x≤812x+16​,x>8​