文章目录

• 1、关系代数概述
• • • 1.1 传统的集合运算
    • 1.2 专门的关系运算
    • • 1.2.1 选择运算
      • 1.2.2 投影（Projection）
      • 1.2.3 连接（Join）
      • 1.2.4 两类常用连接运算
      • 1.2.5 除（Division）

1、关系代数概述

关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式，它是利用对关系的运算来表达查询的。

任何运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。

关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。

运算符：

• 集合运算符
  • 将关系看成元组的集合
  • 从关系的“水平”方向即行的角度来进行运算
• 专门的关系运算符
  • 不仅涉及行而且涉及列
• 算术比较符
  • 辅助专门的关系运算符进行操作
• 逻辑运算符
  • 辅助专门的关系运算符进行操作

常见的关系运算符如下：

1.1 传统的集合运算

设关系RRR和关系SSS是相容的，ttt代表元组变量，现将各种运算分别介绍如下：

（1）并（Union）

• 关系RRR与关系SSS的并记作：R∪S={t∣t∈R∨t∈S}R∪S=\{t|t∈R∨t∈S \}R∪S={t∣t∈R∨t∈S}
• 结果关系是由属于RRR或属于SSS的元组组成，且结果仍为nnn目关系，但结果关系要消除重复元组。

举例：

RRR和SSS

• 具有相同的目nnn（即两个关系都有n个属性）
• 相应的属性取自同一个域

R∪SR∪SR∪S

• 仍为nnn目关系，由属于RRR或属于SSS的元组组成
  • R∪S={t∣t∈R∨t∈S}R∪S=\{t|t∈R∨t∈S \}R∪S={t∣t∈R∨t∈S}

具体如下图所示：

（2）交（ Intersection）

• 关系RRR与关系SSS的交记作：R∩S={t∣t∈R∧t∈S}R∩S=\{t|t∈R∧t∈S \}R∩S={t∣t∈R∧t∈S}
• 结果关系由既属于RRR又属于SSS的元组组成，且仍为nnn目关系。

举例：

RRR和SSS

• 具有相同的目nnn
• 相应的属性取自同一个域

R∩SR∩SR∩S

• 仍为nnn目关系，由既属于RRR又属于SSS的元组组成
  • R∩S={t∣t∈R∧t∈S}R∩S=\{t|t∈R∧t∈S \}R∩S={t∣t∈R∧t∈S}

具体如下图所示：

（3）差（Difference）

• 关系R与关系S的差记作：R−S={t∣t∈R∧t∉S}R-S=\{t|t∈R ∧t \notin S\}R−S={t∣t∈R∧t∈/S}
• RRR和SSS的差，结果关系由属于RRR而不属于SSS的所有元组组成，且仍为nnn目关系,即在关系RRR中减去RRR和SSS的相同元组。

举例：

RRR和SSS

• 具有相同的目nnn
• 相应的属性取自同一个域

R−SR - SR−S

• 仍为nnn目关系，由属于RRR而不属于SSS的所有元组组成
  • R−S={t∣t∈R∧t∉S}R-S=\{t|t∈R ∧t \notin S\}R−S={t∣t∈R∧t∈/S}

（4）广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）

• 两个分别为 nnn目和mmm目的关系，RRR和SSS的广义笛卡尔积是一个(n+m)(n+m)(n+m)列的元组的集合。
• 元组的前nnn列是关系RRR的一个元组，后mmm列是关系SSS的一个元组。若RRR有k1k_1k1​个元组，SSS有k2k_2k2​个元组，则关系RRR和关系SSS的广义笛卡尔积有k1×k2k_1×k_2k1​×k2​个元组。
• 记作：R×S={(a1,a2,…am,b1,b2,…bn)∣(a1,a2,…am)∈R∧(b1,b2,…bn)∈S}。R×S=\{(a_1,a_2,…a_m,b_1,b_2,…b_n)| (a_1,a_2,…a_m) ∈R ∧ (b_1,b_2,…b_n) ∈ S\}。R×S={(a1​,a2​,…am​,b1​,b2​,…bn​)∣(a1​,a2​,…am​)∈R∧(b1​,b2​,…bn​)∈S}。

严格地讲应该是广义的笛卡尔积

• RRR: nnn目关系，k1k_1k1​个元组
• SSS: mmm目关系，k2k_2k2​个元组

R×SR×SR×S

• 列:m+nm+nm+n列元组的集合

  • 元组的前nnn列是关系RRR的一个元组
  • 后mmm列是关系SSS的一个元组

• 行：k1×k2k_1×k_2k1​×k2​个元组
  
  具体如下图所示：
  

1.2 专门的关系运算

在讲解之前，我们先引入几个记号，这样有助于下面的理解，确实关系代数后半部分有点难理解。
（1）R,t∈R,t[Ai]R,t\in R,t[A_i]R,t∈R,t[Ai​]
设关系模式为R(A1，A2，…，An)R(A_1，A_2，…，A_n)R(A1​，A2​，…，An​)，它的一个关系设为RRR，t∈Rt\in Rt∈R表示ttt是RRR的一个元组，t[Ai]t[A_i]t[Ai​]则表示元组t中相应于属性AiA_iAi​的一个分量。

（2）trts⏞\overbrace{t_rt_s}tr​ts​​ ， RRR为nnn目关系，SSS为mmm目关系。
tr∈R，ts∈S，trts⏞t_r\in R，t_s\in S， \overbrace{t_r t_s}tr​∈R，ts​∈S，tr​ts​​称为元组的连接。trts⏞\overbrace{t_r t_s}tr​ts​​是一个n+mn + mn+m列的元组，前nnn个分量为RRR中的一个nnn元组，后mmm个分量为SSS中的一个mmm元组。
（3）象集ZxZ_xZx​
给定一个关系R（X,Z）R（X,Z）R（X,Z），XXX和ZZZ为属性组。当t[X]=xt[X]=xt[X]=x时，xxx在RRR中的象集（Images Set）为：
Zx=t[Z]∣t∈R，t[X]=xZ_x={t[Z]|t \in R，t[X]=x}Zx​=t[Z]∣t∈R，t[X]=x

它表示RRR中属性组XXX上值为xxx的诸元组在ZZZ上分量的集合。

举例如下：

上面抽象的例子可能并不是特别容易理解，那么我们就拿生活中的实际例子进行解释：

学生-课程-选修关系:
学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC

在上面的关系表中，我们可以把SC表看作一个关系R，它的属性组为学号，课程号以及成绩，即R(Sno,Cno,Grade)R(Sno, Cno, Grade)R(Sno,Cno,Grade)。这时我们将SC表与上面那个例子对比可以看出，Sno为200215121的学号在关系R（SC表）中的象集为Sno200215121={1，2，3}Sno_{200215121}=\{1，2，3\}Sno200215121​={1，2，3}，以此类推，这样就比较容易理解一点。

1.2.1 选择运算

• 选择又称为限制
• 选择运算符的含义
  • 关系R上的选择操作是根据某些条件对关系R做水平分割，即从行的角度选择符合条件的元组。
• 在关系R中选择满足给定条件的诸元组
  • 记作：σF（R）={t∣t∈R∧F(t)=‘真’}σF（R）=\{t|t∈R∧F(t)=‘真’\}σF（R）={t∣t∈R∧F(t)=‘真’}
• F：选择条件，是一个逻辑表达式，取逻辑值“真”或“假”。
• 选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组，是从行的角度进行的运算

F：选择条件，是一个逻辑表达式

• 基本形式为：X1θY1X_1θY_1X1​θY1​
• θθθ：比较运算符（＞，≥，＜，≤，＝或<>）（＞，≥，＜，≤，＝或<>）（＞，≥，＜，≤，＝或<>）
• X1，Y1X_1，Y_1X1​，Y1​：属性名、常量、简单函数.
• 属性名也可以用它的序号来代替；

以最上面的学生-课程-选修关系表举例说明更好理解：

[例1] 查询信息系（IS系）全体学生

σSdept=′IS′(Student)或σ5=′IS′(Student)σ_{Sdept} = 'IS' (Student) 或 σ_5 ='IS'(Student)σSdept​=′IS′(Student)或σ5​=′IS′(Student)

结果：

[例2] 查询年龄小于20岁的学生
σSage<20(Student)或σ4<20(Student)σ_{Sage< 20}(Student) 或 σ_{4 < 20}(Student)σSage<20​(Student)或σ4<20​(Student)

结果：

1.2.2 投影（Projection）

投影运算符的含义：

• 从R中选择出若干属性列组成新的关系
  • πA(R)=t[A]∣t∈Rπ_A(R) = { t[A] | t \in R }πA​(R)=t[A]∣t∈R
  • A：R中的属性列

投影操作主要是从列的角度进行运算：

但投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）

举例说明一下：
[例3] 查询学生的姓名和所在系
即求Student关系上学生姓名和所在系两个属性上的投影

πSname，Sdept(Student)或π2，5(Student)π_{Sname，Sdept}(Student) 或 π_{2，5}(Student)πSname，Sdept​(Student)或π2，5​(Student)

结果：

[例4] 查询学生关系Student中都有哪些系

πSdept(Student)π_{Sdept}(Student)πSdept​(Student)

结果：

由此可见，使用投影操作可以将关系表中的列单独拿出来组成新的关系表，这样方便我们可以更加清楚的查看自己想要的信息。

1.2.3 连接（Join）

连接也称为θθθ连接

连接运算的含义：
从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组

连接运算从R和SR和SR和S的广义笛卡尔积R×SR×SR×S中选取（RRR关系）在AAA属性组上的值与（SSS关系）在BBB属性组上值满足比较关系θθθ的元组

举例说明一下：
[例5]关系R和关系S 如下所示：

1.2.4 两类常用连接运算

（1）等值连接（equijoin）

• 什么是等值连接?
  • θ为“＝”的连接运算称为等值连接
• 等值连接的含义
  • 从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的
    那些元组，即等值连接为：
    
    举例说明：
    
    
    （2）自然连接（Natural join）
• 自然连接是一种特殊的等值连接
  • 两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组
  • 在结果中把重复的属性列去掉
• 自然连接的含义
  • R和S具有相同的属性组B

举例：


一般的连接操作是从行的角度进行运算。

自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。

1.2.5 除（Division）

给定关系R(X，Y)R (X，Y)R(X，Y)和S(Y，Z)S (Y，Z)S(Y，Z)，其中X，Y，ZX，Y，ZX，Y，Z为属性组。RRR中的YYY与SSS中的YYY可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。RRR与SSS的除运算得到一个新的关系P(X)P(X)P(X)，PPP是RRR中满足下列条件的元组在 XXX 属性列上的投影：

元组在XXX上分量值xxx的象集YxY_xYx​包含SSS在YYY上投影的集合，记作：

关于象集的概念我们在前面已经提到了，在此直接举例子说明除：

[例6]设关系R、SR、SR、S分别为下图的(a)和(b)，R÷SR÷SR÷S的结果为图©

通过上面的结果我们可以发现，关系RRR中的B、CB、CB、C属性组，和关系SSS中的B、CB、CB、C属性组的域都是相同的，R与SR与SR与S的除运算得到了一个新的关系，我们将它当做P(A)P(A)P(A)，PPP是RRR中满足上述条件的元组在AAA属性列中的投影。

分析：
设关系R，SR，SR，S,分别为例6中的(a)和(b)，R÷SR÷SR÷S的结果为图©,关系RRR中AAA可以取四个值{a1，a2，a3，a4},\{ a_1，a_2，a_3，a_4\},{a1​，a2​，a3​，a4​}, 其中：

• a1a_1a1​的象集为{（b1，c2）,（b2，c1），（b2，c3）}\{（b_1，c_2）,（b_2，c_1），（b_2，c_3）\}{（b1​，c2​）,（b2​，c1​），（b2​，c3​）}
• a2a_2a2​的象集为{（b3，c7）,（b2，C3）}\{（b_3，c_7）,（b_2，C_3）\}{（b3​，c7​）,（b2​，C3​）}
• a3a_3a3​的象集为{(b4，c6)}\{ (b_4，c_6) \}{(b4​，c6​)}
• a4a_4a4​的象集为{（b6，c6）}\{（b_6，c_6）\}{（b6​，c6​）}

SSS在（B，C）（B，C）（B，C）上的投影为{（b1，c2），（b2，c1）,（b2，c3）}\{（b_1，c_2），（b_2，c_1）,（b_2，c_3）\}{（b1​，c2​），（b2​，c1​）,（b2​，c3​）}

显然只有a1a_1a1​的象集包含了SSS在(B,C)(B,C)(B,C)属性组上的投影，所以R÷S={a1}R÷S=\{a1\}R÷S={a1}。

除操作是同时从行和列角度进行运算

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