#include
#include
#includeusing namespace std;const int N = 1e5+10;bool st[N];
int e[N],ne[N],idx,h[N];
int b[N];//每个节点的入读int n,k;  queue q,ans;void bfs()
{while(q.size()){int f = q.front();q.pop();for(int i = h[f]; i != -1; i = ne[i]){b[e[i]]--;if(b[e[i]]==0){ans.push(e[i]);q.push(e[i]);}}}}void add(int a,int b)
{e[idx] = b,ne[idx] = h[a],h[a] = idx++;
}int main()
{ memset(h,-1,sizeof h);cin >> n >> k;for(int i = 1; i <= k; i++){int a,bb;cin >> a >> bb;add(a,bb);b[bb]++;}for(int i = 1; i <= n; i++){if(b[i]==0){//cout << i << endl;q.push(i);ans.push(i);}}bfs();if(ans.size()!=n){cout << -1;return 0;}//cout << ans.size() << endl;while(ans.size()){cout << ans.front() << ' ';ans.pop();}return 0;
}

1. Dijkstra求最短路 I（邻接矩阵）✔12.24

原题链接
刷题总结

1. 稀疏矩阵 和 疏密矩阵（疏密矩阵 可以用 邻接矩阵存储方式）
2. 邻接矩阵直接就可以存储 边距离了
3. d存储到1节点的距离

二刷总结

1. dijk就是两步 ：1. 在dist里选出最小值 2.遍历dist更新
   如何选(如下)

int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j ++ )if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))t = j;

★ 1. Dijkstra求最短路 II（邻接表）✔12.24

原题链接

二刷总结

1. 利用小根堆存储，元素是PII

#include
#include
#include
using namespace std;typedef pair PII;const int N = 1e6+10;int e[N],ne[N],h[N],idx;
int w[N];
int d[N];
bool st[N];int n,m;void add(int a,int b,int c)
{e[idx] = b,ne[idx] = h[a],w[idx] = c,h[a] = idx++;
}void dijkstra()
{priority_queue, greater> heap;d[1] = 0;heap.push({0,1});while(heap.size()){auto item = heap.top();heap.pop();if(st[item.second]==true)continue;st[item.second]=true;for(int i = h[item.second]; i!= -1; i = ne[i]){if(d[e[i]] > w[i] + item.first){d[e[i]] = w[i] + item.first;heap.push({d[e[i]],e[i]});}}}
}int main()
{memset(d,0x3f,sizeof d);memset(h,-1,sizeof h);cin >> n >> m;for(int i = 0; i < m; i++){int a,b,c;cin >> a >> b >> c;add(a,b,c);}dijkstra();if(d[n]!=0x3f3f3f3f)cout << d[n];elsecout << -1；return 0;
}

模板 （遍历所有边只走一步）

int n, m;       // n表示点数，m表示边数
int dist[N];        // dist[x]存储1到x的最短路距离struct Edge     // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
{int a, b, w;
}edges[M];// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] = 0;// 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。for (int i = 0; i < n; i ++ ){for (int j = 0; j < m; j ++ ){int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;if (dist[b] > dist[a] + w)dist[b] = dist[a] + w;}}if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;return dist[n];
}

1. 有边数限制的最短路 ✔ 12.24

原题链接

做题总结：

1. dijkstra不能处理 负权边
   
2. 由于有k的限制，所以每次遍历一条边的时候，需要用备份数据，因为可能会发生数据改变（这样可能导致一次遍历所有边直接到n点了）
3. 有可能出现n节点连接的是负边，那么我们就让n节点的值 > 0x3f3f3f3f/2 这样就可以了

#include
#includeusing namespace std;const int N = 510, M = 10010;struct Edge {int a;int b;int w;
} e[M];//把每个边保存下来即可
int dist[N];
int back[N];//备份数组防止串联
int n, m, k;//k代表最短路径最多包涵k条边int bellman_ford() {memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] = 0;for (int i = 0; i < k; i++) {//k次循环memcpy(back, dist, sizeof dist);for (int j = 0; j < m; j++) {//遍历所有边int a = e[j].a, b = e[j].b, w = e[j].w;dist[b] = min(dist[b], back[a] + w);//使用backup:避免给a更新后立马更新b, 这样b一次性最短路径就多了两条边出来}}if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;else return dist[n];}int main() {scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);for (int i = 0; i < m; i++) {int a, b, w;scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);e[i] = {a, b, w};}int res = bellman_ford();if (res == -1) puts("impossible");else cout << res;return 0;
}

1. spfa求最短路 ✔12.24

原题链接

做题总结：

1. 和宽搜差不多，只是可能会 返回走（但距离值更新了，就把这个节点入队列再处理一次）

#include
#include
#includeusing namespace std;const int N = 1e5+10;
int e[N],ne[N],h[N],idx;
int w[N];bool st[N];int n,m;void add(int x,int y,int c)
{e[idx] = y,ne[idx] = h[x],w[idx] = c,h[x] = idx++;
}int d[N];void spfa()
{memset(d,0x3f,sizeof d);d[1] = 0;queue q;q.push(1);st[1] = true;while(q.size()){auto f = q.front();q.pop();st[f] = false;for(int i = h[f]; i != -1; i = ne[i]){int j = i;if(d[e[j]] > d[f] + w[j]){d[e[j]] = d[f] + w[j];if(st[e[j]]==false){q.push(e[j]);st[e[j]] = true;}}}}
}int main()
{cin >> n >> m;memset(h,-1,sizeof h);for(int i = 0; i < m; i++){int x,y,c;cin >> x >> y >> c;add(x,y,c);}spfa();if(d[n] == 0x3f3f3f3f)cout << "impossible";elsecout << d[n];return 0;
}

原题链接

1. 什么是负环
   
   图1中：2 到 3 到 4 到 2 路径长度为 -10
   图2中：2 到 3 到 4 到 2 路径长度为 10

图1才叫负环
图2不是负环

2. 出现负环会怎么样
   但出现负环的时候，如果我们要去求1到n的最短路，那么过程中，一定会在这个负环中一直转圈，导致路程可以变为负无穷

3. 怎么判断图中是否有负环？
   综上，我们就采取求最小路径的方式（但是本题不是求最短路），当我们求最短路径的过程中，发现有一段路径重复走，那么就说明一定出现了负环

问题来了：怎么判断某段路径在重复走
我们想，1到n号点 最多才可能走了n-1条边
如果我们发现 到某点时 已经走了 大于等于n条边，那么一定就是有负环了
由于我们不知道 1 到 x点最多可能有多少条边，但一定不会超过 n - 1 条边，所以我们就都用 大于等于n条边去判断

例题 spfa判断负环 ✔12.26

原题链接

#include 
#include 
#include 
#include using namespace std;const int N = 2010, M = 10010;int n, m;
int h[N], w[M], e[M], ne[M], idx;
int dist[N], cnt[N];
bool st[N];void add(int a, int b, int c)
{e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}bool spfa()
{queue q;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){st[i] = true;q.push(i);}while (q.size()){int t = q.front();q.pop();st[t] = false;for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (dist[j] > dist[t] + w[i]){dist[j] = dist[t] + w[i];cnt[j] = cnt[t] + 1;if (cnt[j] >= n) return true;if (!st[j]){q.push(j);st[j] = true;}}}}return false;
}int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);memset(h, -1, sizeof h);while (m -- ){int a, b, c;scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);add(a, b, c);}if (spfa()) puts("Yes");else puts("No");return 0;
}

刷题总结

1. e,ne,h,idx 用于存储边，所以数值应该与边一样多
2. 把所有点都入队列，防止不是连通图
3. dist里存储多少都可以，因为我们只需判断负权回路
4. 当一个点所走的路径长度大于n，那么就一定有负边，因为最多就是n正常的话。
5. 一定要有st数组，判断是否再走这个点

1. Floyd求最短路 ✔12.26

原题链接

做题总结

1. 用二维数组存储更方便
2. 读入存储的时候，读取最小值，并且到自身值为0
3. Floyd

#include
#includeusing namespace std;
int n,m,k;
const int N = 210;
int d[N][N];void Floyd()
{for(int k = 1; k <= n; k++)for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= n; j++)d[i][j] = min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
}int main()
{cin >> n >> m >> k;memset(d,0x3f,sizeof d);for(int i = 0; i < m; i++){int x,y,c;cin >> x >> y >> c;d[x][y] = min(d[x][y], c);d[x][x] = 0;d[y][y] = 0;}Floyd();for(int i = 0; i < k; i++){int x,y;cin >> x >> y;if(d[x][y]>=0x3f3f3f3f/2)cout << "impossible" << endl;elsecout << d[x][y] << endl;}return 0;
}

Prim算法求最小生成树 ✔12.27

原题链接

做题总结

1. prim算法的思路：选出每个最小边且该节点没有走过。
   关键开辟一个集合存储每个点的所遍历过的最小边的值，（有个前提就是，需要一个点一个点地走，所以有了prim算法）
2. 自己到自己的距离也应是0x3f，因为d存储的是自己的最短边
3. 图存储的 都是最小值

#include
#includeusing namespace std;const int N = 510;
int p[N][N], d[N];
int n, m;
bool st[N];
int res;
int sum;void prim()
{memset(d, 0x3f, sizeof d);d[1] = 0;for (int k = 0; k < n; k++){int t = -1;for (int l = 1; l <= n; l++){if (st[l] == false && (t == -1 || d[t] > d[l]))t = l;}if (d[t] == 0x3f3f3f3f){res++;return;}st[t] = true;sum += d[t];for (int i = 1; i <= n; i++){d[i] = min(d[i], p[t][i]);}}
}int main()
{memset(p,0x3f,sizeof p);cin >> n >> m;for (int i = 0; i < m; i++){int x, y, c;cin >> x >> y >> c;p[x][y]= p[y][x] = min(p[x][y],c);}prim();if (res)cout << "impossible";elsecout << sum;return 0;
}