给出的问题可以使用以下步骤来解决:

1. 通过迭代矩阵中所有可能的正方形，找到所有正方形的左上角和右下角的坐标。

2. 检查每个正方形是否与其他正方形重叠。如果重叠，则将它们合并为一个更大的正方形。

3. 计算每个正方形内的数字的总和。

以下是 Python 代码样例：

def sum_partially_overlapping_squares(matrix):
    n = len(matrix)  # 矩阵的大小
    squares = []  # 存储所有正方形的坐标和大小。
    for size in range(1, n + 1):
        for i in range(n - size + 1):
            for j in range(n - size + 1):
                square = (i, j, size)  # 存储正方形左上角的坐标和大小。
                squares.append(square)
    # 根据相交的正方形合并正方形。
    merged_squares = []
    while squares:
        square = squares.pop(0)
        overlaps = []  # 存储与当前正方形有重叠的正方形。
        for other in squares:
            if overlap(square, other):
                overlaps.append(other)
        for other in overlaps:
            squares.remove(other)
            square = merge(square, other)
        merged_squares.append(square)
    # 计算每个正方形内数字的总和。
    total = 0
    for square in merged_squares:
        i, j, size = square
        for y in range(i, i + size):
            for x in range(j, j + size):
                total += matrix[y][x]
    return total

# 检查两个正方形是否重叠。
def overlap(square1, square2):
    i1, j1, size1 = square1
    i2, j2, size2 = square2
    if i1 > i2 + size2 - 1 or i2 > i1 + size1 - 1:
        return False
    if j1 > j2 + size2 - 1 or j2 > j1 + size1 - 1:
        return False
    return True

# 合并两个正方形。
def merge(square1, square2):
    i1, j1, size1 = square1
    i2, j2