定义

  对于复矩阵，转置又不一样，常见的操作是共轭转置，也叫埃尔米特转置Hermitian transpose。埃尔米特转置就是对矩阵先共轭，再转置，一般来说用三种符号表示埃尔米特转置：

1. 第一种符号是AHA^HAH，这是国内教材通用的做法，H是埃尔米特名字首字母；
2. 第二种符号是A∗A^*A∗，这是国外教材喜欢用，这个符号在国内教材表示伴随矩阵，如以下文档：
   
3. 第三种符号是匕首符号A†A^{\dagger}A†，但是有时候也用来表示矩阵的加号逆。

  求埃尔米特转置的代码比较简单,python就一行代码：

    # 埃尔米特转置def hermitian_transpose(self):return Matrix([[e.conjugate() for e in v] for v in self.__vectors]).transpose_matrix()

  测试了一个矩阵:
(1−i6−i2−8i2+i5+i4−i)H=(1+i2−i6+i5−i2+8i4+i)\begin{pmatrix}1-i & 6-i & 2-8i\\ 2+i & 5+i & 4-i\\ \end{pmatrix}^H= \begin{pmatrix}1+i & 2-i\\ 6+i & 5-i\\ 2+8i & 4+i\\ \end{pmatrix} (1−i2+i​6−i5+i​2−8i4−i​)H=​1+i6+i2+8i​2−i5−i4+i​​

埃尔米特阵

  如果一个矩阵，埃尔米特转置后还是它自己，这样的矩阵就是埃尔米特阵。毫无疑问，矩阵必须得是一个方阵。所以它的判断方式也很简单，首先判断是否为方阵，再以对角线为对称轴判断就完事了，但是要注意数据类型，把复数和其他类型区分开来，所以代码会稍微长一点：

# 是否埃尔米特阵def is_hermitian(self):m = len(self.__vectors[0])n = len(self.__vectors)if m != n:return False# 遍历每一行对角线以上的元素for i in range(m):for j in range(i+1, n):e = self.__vectors[j][i]f = self.__vectors[i][j]if isinstance(e, complex):if e != f.conjugate():return Falseelse:if e != f:return Falsereturn True

  比如以下矩阵就是一个埃尔米特阵：
(1−i2−i3+i2+i5+i3+i3−i3−i3−i)\begin{pmatrix}1-i & 2-i & 3+i\\ 2+i & 5+i & 3+i\\ 3-i & 3-i & 3-i\\ \end{pmatrix} ​1−i2+i3−i​2−i5+i3−i​3+i3+i3−i​​

酉矩阵

  一个方阵的逆矩阵恰好是自己的埃尔米特转置，这样的矩阵被称为酉矩阵unitary matrix，也就是：
AAH=AHA=IAA^H=A^HA=I AAH=AHA=I
  AAH=AHAAA^H=A^HAAAH=AHA这个定义就限制了必须为方阵。所以它的判断也比较简单：

   # 是否为酉矩阵def is_unitary(self):m = len(self.__vectors[0])n = len(self.__vectors)if m != n:return Falsex = self * self.hermitian_transpose()return x.is_identity()# 是否为单位矩阵def is_identity(self):m = len(self.__vectors[0])n = len(self.__vectors)if m != n:return Falsefor i in range(n):for j in range(n):if i == j:if self.__vectors[i][j] != 1:return Falseelif self.__vectors[i][j] != 0:return Falsereturn True

  比如以下两个矩阵就是一个酉矩阵:
(0.5−0.5i−0.5+0.5i0.5i0.50.5+0.5i0.5+0.5i−0.5+0.5i0)(0.5−0.5i0.5−0.5i0.5i0.5−0.5−0.5i−0.5−0.5i0.5−0.5i0)=(100010001)\begin{pmatrix}0.5 & -0.5i & -0.5+0.5i\\ 0.5i & 0.5 & 0.5+0.5i\\ 0.5+0.5i & -0.5+0.5i & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0.5 & -0.5i & 0.5-0.5i\\ 0.5i & 0.5 & -0.5-0.5i\\ -0.5-0.5i & 0.5-0.5i & 0\\ \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} ​0.50.5i0.5+0.5i​−0.5i0.5−0.5+0.5i​−0.5+0.5i0.5+0.5i0​​​0.50.5i−0.5−0.5i​−0.5i0.50.5−0.5i​0.5−0.5i−0.5−0.5i0​​=​100​010​001​​