近似算法基础

• 1. 近似算法的基本概念
• 2. 近似算法的性能分析

1. 近似算法的基本概念

很多实际应用问题都是NP-完全问题，这类问题很可能不存在多项式时间算法。一般而言，NP-完全问题可采用以下三种方式处理。

1. 如果问题的输入规模较小，则可以利用搜索策略在指数时间内求解问题。
2. 如果输入规模较大，既可以利用随机算法在多项式时间内“高概率”地精确求解问题
3. 也可以考虑在多项式时间内求得问题的一个“近似解”。

近似算法是指能够在多项式时间内给出优化问题的近似优化解的算法，近似算法不仅可用于近似求解NP-完全问题，也可用于近似求解复杂度较高的P问题。

2. 近似算法的性能分析

近似算法的性能分析包括时间复杂度分析、空间复杂度分析和近似精度分析，其中时间（空间）复杂度的分析同精确复杂度相同。近似精度分析是近似算法特有的，它主要用于刻画近似算法给出的近似解相比于问题优化解的优劣程度。目前，存在三种刻画近似精度的度量，即

1. 近似比
2. 相对误差界
3. 1+ε1+ε1+ε近似。

近似比（性能比）： 设A是一个优化问题的近似算法，A具有近似比（ratio bound） p(n), 如果maxC/C∗,C∗/C≤p(n)max{C/C*, C*/C} ≤ p(n)maxC/C∗,C∗/C≤p(n)。其中n是输入大小，C是A产生的解的代价，C*是优化解的代价。近似算法的性能比不会小于1，一个能求得精准最优解的算法性能比为1，一般情况下性能比大于1.近似算法的性能比越大，它求得的近似最优解越差。

相对误差： 对于任意输入，近似算法的相对误差定义为∣C−C∗∣/C∗|C - C^*|/C^*∣C−C∗∣/C∗,其中C是近似解的代价，C∗C^*C∗是优化解的代价。

相对误差界：一个近似算法的相对误差界为ε(n),如果∣C−C∗∣/C∗≤ε(n)|C-C^*|/C^* ≤ ε(n)∣C−C∗∣/C∗≤ε(n)。近似算法的性能比p(n)与相对误差界ε(n)之间有如下关系：ε(n)<=p(n)-1.

近似模式： 一个优化问题的近似模式是一个以问题实例III和ε>0ε>0ε>0位输入的算法。对于任意固定的ε，近似模式是一个(1+ε)(1+ε)(1+ε)-近似算法。一个近似模式A(I,ε)A(I,ε)A(I,ε)称为一个多项式时间近似模式，如果对于任意ε>0, A(I,ε)A(I,ε)A(I,ε)的运行时间是∣I∣|I|∣I∣的多项式。一个近似模式称为完全多项式时间近似模式，如果它的运行时间是关于I/εI/εI/ε和输入实例大小nnn的多项式。

以下参考北大屈老师近似算法课件：