红黑树的概念

红黑树是一棵二叉搜索树，但是红黑树通过增加一个存储位表示结点的颜色RED或BLACK。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出2倍，因而是接近平衡的。

红黑树的性质

⭐1.每个节点不是红色就是黑色。

⭐2.根节点是黑色的。

⭐3.如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的。也就意味着，红黑树没有连续的红色节点。

⭐4.对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点。也就是说每条路径都有相同数量的黑色节点。

⭐5.每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点。

从性质上分析红黑树的近似平衡

一颗红黑树最短的路径是这条路径全黑。最长是一红一黑相间路径。

对于近似平衡来说：

①最优情况就是左右平衡，此时每条路径都是全黑或者是一红一黑相间，形成满二叉树。

②差的情况就是左右越不平衡，情况就越差。比如左子树全黑，而右子树是一黑一红相间。假设左子树全黑的路径长度位h = logN，因为红黑树要求每条路径的黑色节点的数量是相同的，而右子树是一红一黑相间的，那就说明右子树的长度是左子树的两倍h = 2*logN，这是最差的情况了，再差点就不是红黑树了。

红黑树节点的定义

红黑树节点的定义，跟AVL树的区别就是红黑树不需要平衡因子，而加入了颜色红跟黑。在定义当中，构造函数初始化列表对颜色_col默认初始化为红色是因为权衡了上面所述红黑树性质中的性质3和性质4。

性质3是说明了红黑树没有连续的红色节点，性质4说明的是每条路径都有相同数量的黑色节点。我们在定义节点的时候，需要给节点的颜色初始化，要么是红色，要么是黑色。

如果我们选择了黑色，那么在插入新节点之前，我们是往红黑树插入的嘛，本身就是红黑树，再插入一个黑色节点的话，那么必定会破坏掉红黑树的规则，是一定被破坏掉的，那么就一定需要对这颗红黑树进行调整。

如果我们选择红色，那么有可能会破坏掉红黑树的规则，也可能不会造成破坏。因为新增的节点的父节点是黑色的，那么就不会造成影响，而父节点是红色的话，那就需要调整。

因此，综上所述，默认初始化为红色是比较好的选择。

//使用枚举
enum Colour
{RED,BLACK,
};template
struct RBTreeNode
{pair _kv;RBTreeNode* _left;RBTreeNode* _right;RBTreeNode* _parent;Colour _col;RBTreeNode(const pair& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr)  //跟AVL树一样，使用parent节点是为了旋转,_col(RED)  //默认是红色{}
};

红黑色的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡限制条件的树，因此红黑树的插入分为两步：

第一步：按照二叉搜索树的规则插入新节点。

第二步：检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏。

判断依据：因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：

本文约定好：cur为当前节点，p（parent）为父节点，g（grandther）为祖父节点，u(uncle)为叔叔节点。

①cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

这种情况是插入的节点cur是红色的（默认），cur的双亲节点和叔叔节点是红色的，祖先节点是黑色的。因为不能连续存在红色节点，那么就需要把颜色调整一下即可，不需要旋转。

调整的方法为：将p节点和u节点的颜色改成黑色，同时为了防止g不是一棵单独的树，先把它变成红色，再进行判断，如果是单独的树，那么就把g的颜色变回黑色，如果是一棵子树，那么就往上继续调整。

②cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

这种情况下是需要旋转+变色的。因为当cur为红色，p为红色，g为黑色，而u的情况是：

如果u不存在，cur肯定是新增的节点，因为在新增之前，p和g组成的树是一棵红黑树，在cur新增之后，不符合红黑树的性质。

这种情况下光凭变色是解决不了问题的，因为u为空说明有一条路径只有根节点，而另一条路径上会存在连续红，只凭变色，无论怎么变，都会导致各路径的黑色节点数量不相同，所以需要先根据p和cur的位置来决定旋转的方向而旋转，再变色。

如果u存在，则u是黑色，并且cur原本的颜色一定是黑色的，而现在cur的颜色是红色，那就肯定是第一种情况调整后，导致了现在的cur的颜色变了。

这种情况下就跟u不存在的情况一样，采用旋转+变色来解决问题。此时，u存在不存在已经没什么关系了（单独是看构造红黑树的情况来说）。

③cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

这种情况的颜色是跟情况二的一样，区别就是节点的位置不一样。

这种情况是跟第二中情况差不多，就是多了一步旋转，先左旋再右旋，或者先右旋再左旋。

整体代码如下：

template
class RBTree
{typedef RBTreeNode Node;
public:bool Insert(const pair& kv){//先按二叉搜索树的规矩来创建一棵二叉搜索树if (_root==nullptr){_root = new Node(kv);//因为红黑树的根节点是黑色的_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_col = RED;//多写一步，防止写错代码。if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}//创建完二叉搜索树//开始创建红黑树，使用颜色来判断是否需要调整//循环往上走，循环条件：当走到的parent不为空，并且parent是红色的//即我们列举是三种情况，parent都是红的，就需要重新调整//如果parent是黑色的，那就不需要了。直接就是一棵红黑树,不进入循环while (parent && parent->_col == RED){//保存祖先节点，即g节点Node* grandfther = parent->_parent;//判断父节点是在祖先节点的哪边if (parent == grandfther->_left){//父节点在左边，那么叔叔节点就在右边Node* uncle = grandfther->_right;//情况一：uncle存在且为红。改变颜色即可if (uncle && uncle->_col == RED){//变色。parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfther->_col = RED;//往上走cur = grandfther;parent = cur->_parent;}else  //uncle不存在 或者 存在但是黑色{//情况二  p是g的左孩子，cur是p的左孩子，以g为轴右单旋if (cur == parent->_left){//右单旋RotateR(grandfther);//变色  右单旋后，parent为根节点，变黑色。cur和g节点为红色parent->_col = BLACK;grandfther->_col = RED;}else  //情况三  p是g的左孩子，cur是p的右孩子.{//先以p为轴左旋转RotateL(parent);//变成情况二，再以g为轴右单旋RotateR(grandfther);//变色  cur变成根节点，为黑色。p和g是红色cur->_col = BLACK;grandfther->_col = RED;}break;}}else  //parent是在grandfther的右边{//叔叔节点就在祖先节点的左边Node* uncle = grandfther->_left;//情况一：uncle存在且为红。改变颜色即可if (uncle && uncle->_col == RED){//变色。parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfther->_col = RED;//往上走cur = grandfther;parent = cur->_parent;}else  //uncle不存在 或者 存在但是黑色{//情况二  p是g的右孩子，cur是p的右孩子。if (cur == parent->_right){//左单旋RotateL(grandfther);//变色  右单旋后，parent为根节点，变黑色。cur和g节点为红色parent->_col = BLACK;grandfther->_col = RED;}else  //情况三  p是g的右孩子，cur是p的左孩子.{//先以p为轴右旋转RotateR(parent);//变成情况二，再以g为轴左单旋RotateL(grandfther);//变色  cur变成根节点，为黑色。p和g是红色cur->_col = BLACK;grandfther->_col = RED;}break;}}}//最后将根节点置为黑_root->_col = BLACK;return true;}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR){subLR->_parent = parent;}Node* ppNode = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (ppNode == nullptr){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else  {if (ppNode->_left == parent) {ppNode->_left = subL;}else                        {ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;}}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;	parent->_right = subRL;if (subRL){subRL->_parent = parent;}Node* ppNode = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (ppNode == nullptr){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left = parent){ppNode->_left = subR;}else{ppNode->_right = subR;}subR->_parent = ppNode;}}private:Node* _root = nullptr;
};

旋转请看：AVL树这篇文章有详细解析。红黑树的旋转直接复用AVL树的旋转的代码即可。