要在部署的网站上运行Express.js应用程序的子进程脚本，可以使用Node.js的child_process模块。以下是一个解决方法的代码示例：

const express = require('express');
const { exec } = require('child_process');

const app = express();

app.get('/', (req, res) => {
  // 运行子进程脚本
  exec('node childScript.js', (error, stdout, stderr) => {
    if (error) {
      console.error(`执行子进程脚本时发生错误：${error.message}`);
      res.status(500).send('内部服务器错误');
      return;
    }
    console.log(`子进程脚本输出：${stdout}`);
    res.send('子进程脚本执行成功');
  });
});

app.listen(3000, () => {
  console.log('Express应用程序已启动');
});

在上面的代码中，首先引入了express和child_process模块。然后创建了一个Express应用程序，并定义了一个路由处理程序，当访问根路径时会运行子进程脚本。

在路由处理程序中，使用exec函数运行子进程脚本node childScript.js。exec函数接收一个命令作为参数，并在一个shell中执行该命令。当子进程脚本执行完毕后，会调用回调函数，其中包含子进程的输出。

在回调函数中，首先检查是否有错误发生。如果有错误，会打印错误信息并返回500状态码。如果没有错误，会打印子进程的输出，并返回200状态码。

最后，启动Express应用程序并在端口3000上监听请求。

请注意，上述示例中的子进程脚本为childScript.js，您需要根据自己的需求编写实际的子进程脚本。