首先，如果部署后 Firebase 云函数首次调用总是超时，可以尝试以下解决方法：

1. 增加函数的超时时间：在你的云函数代码中，可以通过设置 timeoutSeconds 属性来增加函数的超时时间。默认超时时间为 60 秒，你可以将其增加到更长的时间，比如 120 秒。

exports.myFunction = functions
  .runWith({ timeoutSeconds: 120 })
  .https.onRequest((req, res) => {
    // 云函数的代码逻辑
    // ...
  });

2. 检查云函数的依赖项：如果云函数依赖于其他服务或资源，例如数据库或外部 API，确保这些服务都在云函数中正确配置和连接。如果其中一个依赖项存在问题，可能会导致函数超时。

const admin = require("firebase-admin");

admin.initializeApp();
const db = admin.firestore();
// 连接其他依赖项，例如数据库或外部 API
// ...

3. 检查云函数的代码逻辑：云函数的代码逻辑是否存在性能瓶颈或无限循环等问题？如果有，可能会导致函数超时。确保代码逻辑是高效的，并避免不必要的重复计算或循环。

4. 检查云函数的网络连接：如果云函数需要访问外部网络资源，例如调用外部 API，确保网络连接正常。如果网络连接不稳定或存在阻塞，可能导致函数超时。

5. 检查云函数的资源限制：Firebase 云函数有一些资源限制，例如内存和 CPU 使用。如果云函数的资源使用超过了限制，可能会导致函数超时。确保你的云函数使用的资源是合理的，并根据需要进行优化。

通过以上方法，你可以解决部署后 Firebase 云函数首次调用总是超时的问题。