要解决网站部署后背景图片滚动行为不稳定的问题，可以尝试以下解决方法：

1. 使用CSS属性background-attachment: fixed;来固定背景图片，使其在滚动时保持静止。

body {
  background-image: url('your-background-image.jpg');
  background-repeat: no-repeat;
  background-attachment: fixed;
  background-size: cover;
}

2. 确保图片的路径是正确的，避免在部署后无法正确加载图片。

3. 如果使用了CSS预处理器（如Sass、Less等），可以检查是否正确地编译了背景图片的路径。

4. 使用相对路径而非绝对路径来引用背景图片，确保在部署后能够正确加载图片。

body {
  background-image: url('../images/your-background-image.jpg');
  background-repeat: no-repeat;
  background-attachment: fixed;
  background-size: cover;
}

5. 检查网站的HTML结构和CSS样式，确保没有其他样式或脚本导致背景图片滚动。

6. 如果使用了JavaScript库或框架，可以检查是否有相关的配置或选项来控制背景图片的滚动行为。

7. 清除浏览器缓存，以确保加载最新的CSS和图片文件。

通过以上方法，您应该能够解决部署网站后背景图片滚动行为不稳定的问题，并实现与本地构建相符的预期行为。