以下是一个解决方法的示例代码：

def count_islands(grid):
    if not grid:  # 如果网格为空，返回0
        return 0

    def dfs(grid, i, j):
        if i < 0 or i >= len(grid) or j < 0 or j >= len(grid[0]) or grid[i][j] != 1:
            return
        
        grid[i][j] = -1  # 将访问过的岛屿标记为-1

        # 递归遍历岛屿的上下左右四个方向
        dfs(grid, i-1, j)
        dfs(grid, i+1, j)
        dfs(grid, i, j-1)
        dfs(grid, i, j+1)

    count = 0  # 记录岛屿数量

    for i in range(len(grid)):
        for j in range(len(grid[0])):
            if grid[i][j] == 1:
                count += 1
                dfs(grid, i, j)  # 对每个岛屿进行深度优先搜索遍历

    return count

# 示例输入
grid = [
    [1, 1, 0, 0, 0],
    [1, 1, 0, 0, 0],
    [0, 0, 1, 0, 0],
    [0, 0, 0, 1, 1]
]

print(count_islands(grid))  # 输出: 3

这个解决方法使用深度优先搜索（DFS）算法来遍历岛屿的每个格子。对于每个为1的格子，都进行一次深度优先搜索，将与其相连的所有格子标记为-1，表示已经访问过。同时，岛屿数量加1。最后，返回岛屿数量即可。

在示例输入中，有3个不同的岛屿，所以输出为3。