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• • 递归
  • 动态规划

题目来源
343. 整数拆分

递归

对于给定的一个整数 n，穷举它的每一种分解情况，然后对所有情况，求最大值。 并且我们知道，n 可以拆成如下情况：

通过上图，我们很容易得到一个递归表达式：

F(n)=max{i∗F(n−i)}，i=1，2，...，n−1

上述表达式是表明n - i需要继续分解的情况，但如果n - i比F(n - i)要大，显然就不用再继续分解了。故我们还需要比较i * (n - i)与i * F(n - i)的大小关系。所以完整的表达式应该为：

F(n)=max{i∗F(n−i), i∗(n−i)},i=1,2,...,n−1

class Solution {public int integerBreak(int n) {if(n == 2){return 1;}int res = -1;for(int i = 1; i <= n-1;i++){res = Math.max(res,Math.max(i*(n-i),i*integerBreak(n-i)));}return res;}
}

动态规划

• 1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

• 2.确定递推公式

可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？
其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].
一个是j * (i - j) 直接相乘。
一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。
j怎么就不拆分呢？
j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。

• 3.dp的初始化

只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1

• 4.确定遍历顺序

确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。

        for(int i = 3;i<=n;i++){for(int j = 1;j < i-1;j++){dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]));}

j的结束条件是 j < i - 1 ，其实 j < i 也是可以的，不过可以节省一步，例如让j = i - 1，的话，其实在 j = 1的时候，这一步就已经拆出来了，重复计算，所以 j < i - 1
至于 i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。

• 5.举例推导dp数组

举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：

class Solution {public int integerBreak(int n) {int[] dp = new int[n+1];dp[2] = 1;for(int i = 3;i<=n;i++){for(int j = 1;j < i - 1;j++){dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]));}}return dp[n];}
}