一维连续型随机变量函数的分布例题(一)
创始人
2024-06-01 07:24:49
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设随机变量X的概率密度为f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{8},x\in (0,4) & & \\ \0,other & & \end{matrix}\right.,求Y=2X+8的概率密度。

令g(x)=Y,即g(x)=2X+8。我们可以得到Y的值域为(8,16)。

 方法一:看看Y是不是单调可导的函数

此处Y单调可导。

然后求Y的反函数,即\frac{Y-8}{2}=x=h(x)。再对h(x)求导可得x'=\frac{1}{2}

再由公式f_Y(y)=f_X[h(y)]\cdot h'(y)我们可得

\\f_Y(y)=\frac{1}{2}f_X(\frac{y-8}{2})=\frac{1}{2}\cdot \frac{\frac{y-8}{2}}{8} \\ =\frac{y-8}{32}

再补上定义域即可得到

f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{y-8}{32},x\in (8,16) & & \\ \0,other & & \end{matrix}\right.

方法二:如果Y不可导

那就用定义去做。当然如果Y单调可导还是用方法一做比较方便。

已知F_Y(y)=P\left \{ Y \leq y \right \}=P\left \{ g(X) \leq y \right \} =P\left \{ X \leq h(y) \right \}=F_X(h(y)),也就是我们直接把Y代入,先得到P\left \{ 2X+8<y \right \}=P\left \{ X<\frac{y-8}{2}\right \}

我们再看看X的取值,最小值只能取到0,那么我们要求的就是P\left \{ 0<X<\frac{y-8}{2}\right \}

再根据定义我们可得P\left \{ 0<X<\frac{y-8}{2}\right \} =[F_X(\frac{y-8}{2})-F_X(0)]=f_Y(y)

同时又因为连续性随机变量的分布函数求导后就可以得到概率密度,我们最后可得

[F_X(\frac{y-8}{2})-F_X(0)]'=[F_X(\frac{y-8}{2})]'

把它当作一个复合函数去求导,得到结果\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{y-8}{2}}{8}=\frac{y-8}{32}。结果和上面一样,补上y的定义域即可。

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