考研数二第二讲 数列/函数的极限
一 、数列
无穷多个数按照一定顺序排成一列叫数列。如：
二、数列的极限
回到刚才提到的四个数列，我们根据描述性定义”当 n 无限增大时“（即 n→∞ ），可以轻松推出数列 xn 的极限值：
实际上我们对描述性定义不算满意，因为它描述说：“......当 n 无限增大时， xn 无限接近于 a......" 那么究竟什么情况才算是“ xn无限接近于 a ”呢？离多远才算是”无限接近“呢？显然描述性定义的这种说法没有进行定量描述。
数列没有极限又称数列是发散的。
注：
1. ε 是任意的，只有这样才能表达 xn 无限接近于 a 。
2. ε 又是给定的，唯有给定，才能确定 N ，即 N 是与 ε 有关的。
3. N 不是唯一的。比如数列 {xn}={1−1/n} ,要使 |xn−1|<1/100 就要使得 n>N=100 ,即从 101 项开始，以后的所有项都满足|xn−1|<1/100。那么我们取 N=101 ，n>N=101 ,即从 102 项开始，以后的所有项也将必然都满足|Xn−1|<1/100。
当 n>N 时，满足 |xn−a|<ε ，亦即满足 a−ε 利用极限定义证明数列的极限 1.极限唯一性：数列 {xn} 如果有极限，那么极限是唯一的。 2.收敛数列的有界性：如果 {xn} 收敛，则{xn}有界。 3.极限的局部保号性定理 函数极限与单侧极限的关系：当 x→x0 时，函数 f(x) 极限存在的充分必要条件是函数 f(x) 左极限、右极限都存在并且相等。
三、经典求极限题目
四、数列的极限的性质
函数极限
函数极限题目
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