乘法逆元

文章目录

• 乘法逆元
• • 一、模运算的性质
  • 二、除法的模运算
  • • 1、除法模运算
    • 2、解决除法模运算问题
  • 三、乘法逆元
  • • 1、定义
    • 2、**逆元是干什么的呢**
  • 四、求解逆元
  • • • 1、费马小定理
      • 2、扩展欧几里得（exgcd）
      • • （1）裴蜀定理
        • （2）exgcd
        • （3）ax≡1(modn)ax\equiv 1(mod\qquad n)ax≡1(modn)
  • 五、参考文献

一、模运算的性质

• ( a + b ) % p = ( a % p + b % p) % p
• ( a + b ) % p =( ( a % p + b % p ) % p + p ) % p

注意：此处与上一个不一样，(9-7)%8=(9%8-7%8)%8=-6 ;不是我们要的值，这时要加上p

• ( a * b ) % p = ( ( a % p ) * ( b % p ) ) % p

二、除法的模运算

1、除法模运算

​ (a/b)%p=(a%p)/(b%p) ,如果我们保证可以整除，它是否成立呢？

取a=8,b=2,p=6; 左式=4，右式=1；也就是说 除法的模运算不一定成立。

2、解决除法模运算问题

​ 能否将除法转化为乘法？找到 binv ,使得 （a/b）%p==(a∗binv)%p（a/b）\%p==(a*b_{inv})\%p（a/b）%p==(a∗binv​)%p ；若能，则称 binvb_{inv}binv​为 b在模p意义下 的乘法逆元 ；

三、乘法逆元

1、定义

​ 若在mod p意义下，对于一个整数a，有(a∗b)(a*b)%p=1(a∗b)，那么这个整数b即为a的 乘法逆元，同时a也为b的乘法逆元。一个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,p)=1，此时a才有对p的乘法逆元。

2、逆元是干什么的呢

​ 首先对于除法取模不成立，即$ (a/b)%p!=(a%p)/(b%p)$。显然数学家们是不能忍受这种局面的，他们扔出了“逆元”来解决这个问题。因为取模运算对于乘法来说是成立的，逆元就是把除法取模运算转化为乘法取模运算。
(a/b)%p=m(1)(a×x)%p=m(2)(a/b)\%p=m (1)\\ (a \times x)\%p=m (2) (a/b)%p=m(1)(a×x)%p=m(2)
（1）模运算对乘法成立，对①式左右两边同时乘以b，得到
a%p=(m×b)%pa\%p=(m \times b)\%p a%p=(m×b)%p
（2）如果a和b均小于模数p的话，上式得到：
a=m×ba = m \times b a=m×b
（3）等式两边同时乘以xxx，联立②式得到：
(a×x)%p=m%p=(m×b×x)%p(b×x)%p=1(a \times x)\%p = m\%p=(m \times b \times x )\%p \\ (b \times x)\%p = 1 (a×x)%p=m%p=(m×b×x)%p(b×x)%p=1
即x就是b的逆元。（根据逆元的定义可知）总结：求取(a/b)(a/b)%p(a/b)等同于求取a×(b的逆元)a \times (b的逆元)%pa×(b的逆元)，因此，求模运算的除法问题就转化为求解一个数的逆元问题。

四、求解逆元

求解一个数的逆元有两种方法：费马定理和扩展欧几里得

1、费马小定理

因为在算法竞赛中模数p总是质数，所以可以使用费马小定理。
bp−1%p=1b^{p-1}\%p=1 bp−1%p=1
可以得到(b×bp−2)%p=1(b \times b^{p-2})\% p=1(b×bp−2)%p=1，所以bp−2b^{p-2}bp−2是b在mod p条件下的逆元。

public class PowUtil {public static Long quickPow(Long a,Long n,Long p){//结果Long res = 1L;while (n != 0) {//判断 n 的二进制的最后一位是否为0if((n&1)!=0){//当n的二进制最后一位为1时，乘以当前的权重res = (res*a)%p;}//更新n，每次n向右移一位n = n >> 1;//更新每一位的权重a = (a*a)%p;}return res;}}public class InverseElement {/*** 利用b^(n-1)%p=1求解b的逆元* @param a 质数* @param p 模数* @return a的逆元*/public static Long inverseElement(Long a,Long p){//quickPow()是快速幂函数return PowUtil.quickPow(a,p-2,p);}}

2、扩展欧几里得（exgcd）

（1）裴蜀定理

​ 若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。它的一个重要推论是：a,b互质的充分必要条件是存在整数x,y使ax+by=1.

（2）exgcd

ax+by=d=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx0+(a%b)y0因为a%b=a−ab×b所以ax+by=bx0+a%by0=bx0+(a−a/b∗b)y0=bx0+ay0−a/b∗y0∗b=ay0+b(x0−a/b∗y0)(1)由(1)得出：x=y0,y=x0−(a/b)∗y0\begin{aligned} % requires amsmath; align* for no eq. number ax+by& =d \\& =gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\\ & = bx_0+(a\%b)y_0\\ 因为a\%b& = a-\frac{a}{b}\times b\\ 所以ax+by&=bx_0+a\%by_0\\ &=bx_0+(a-a/b*b)y_0\\ &=bx_0+ay_0-a/b*y_0*b\\ &=ay_0+b(x_0-a/b*y_0)&(1)\\ 由(1)得出：x&=y_0,y=x_0-(a/b)*y_0 \end{aligned} ax+by因为a%b所以ax+by由(1)得出：x​=d=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx0​+(a%b)y0​=a−ba​×b=bx0​+a%by0​=bx0​+(a−a/b∗b)y0​=bx0​+ay0​−a/b∗y0​∗b=ay0​+b(x0​−a/b∗y0​)=y0​,y=x0​−(a/b)∗y0​​(1)​

C++：

//第一种写法
ll Exgcd1(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {if (!b) {x = 1;y = 0;return a;}ll d = Exgcd(b, a % b, x, y);ll t = x;x = y;y = t - (a / b) * y;return d;
}//第二种写法
ll Exgcd2(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {if (!b) {x = 1;y = 0;return a;}ll d = Exgcd(b, a % b, y, x);y = y - (a / b) * x;return d;
}ll niyuan(ll a, ll b)   //求a对b取模的逆元
{ll x, y;exgcd(a, b, x, y);return (x + b) % b;
}

Java：

• 前提条件求ax=1(modmod)ax=1(mod\qquad mod)ax=1(modmod)，且aaa和modmodmod互质

public class exgcd {//扩展欧几里得算法public static long x,y; //(d*e)%(p-1)(q-1)=1//ax + my = 1(mod m)public void exgcd(long a,long b){if (b==0) {x = 1;y = 0;return;}exgcd(b,a%b);long xx = x;x = y;y = xx - (a/b)*y;}
}

​ 欧几里得算法只能求解最大公因数，但是扩展的欧几里得算法既可以求出最大公因数，还可以求出ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b) 的通解 xxx 和 yyy 。

​ 求解形如 a∗x+b∗y=ca*x +b*y = ca∗x+b∗y=c 的通解，但是一般没有谁会无聊到让你写出一串通解出来，都是让你在通解中选出一些特殊的解，比如一个数对于另一个数的乘法逆元。

​ 分析：

• gcd函数与exgcd函数相比，只是增加了求解x，y的步骤，其余的没变；

• a∗x+b∗y=ca*x + b*y = ca∗x+b∗y=c 有解的充要条件：c%gcd(a,b)==0c\% gcd ( a , b )==0c%gcd(a,b)==0。

• 求 exgcd(a,b,x,y)exgcd(a,b,x,y)exgcd(a,b,x,y) —>利用欧几里得算法不断递归直到x=1,y=0x=1,y=0x=1,y=0—>反向递归求出第一层的 xxx 和 yyy，xxx即为 eee 模 mmm 的逆元。

（3）ax≡1(modn)ax\equiv 1(mod\qquad n)ax≡1(modn)

​ 求解a∗x=1(modm)a*x =1(mod \qquad m)a∗x=1(modm)中的 xxx ?

​ 这里，我们称 xxx 是 aaa 关于 mmm 的乘法逆元。可以等价于这样的表达式： a∗x+m∗y=1a*x + m*y = 1a∗x+m∗y=1，当gcd(a,m)!=1gcd(a , m) != 1gcd(a,m)!=1 的时候是没有解，这也是 a∗x+b∗y=ca*x + b*y = ca∗x+b∗y=c 有解的充要条件：c%gcd(a,b)==0c\%gcd(a,b)==0c%gcd(a,b)==0。

​ 利用 exgcd(a,b,x,y)exgcd(a,b,x,y)exgcd(a,b,x,y) 求解 xxx 和 yyy ，然后 (x+m)(x+m)%m(x+m) 就是所求结果了。

典型例题：第十届蓝桥杯省赛Java研究生组：试题E：RSA解密

五、参考文献

[1] 乘法逆元超详解

[2]乘法逆元

[3]exgcd知识完善

[4]扩展欧几里得算法（求逆元）总结

[5]拓展欧几里得定理的应用