70: 爬楼梯

总结

easy题。

题目形成的数列正好是斐波那契数列，答案要求的f(n)f(n)f(n)即是斐波拉契数列的第n项（下标从0开始），本题可按照求解斐波拉契第n项的求解方法。

• n 比较小的时候，可以直接使用过递归法求解，不做任何记忆化操作，时间复杂度是O(2n)O(2^n)O(2n)，存在很多冗余计算。
• 一般情况下，使用「记忆化搜索」或者「迭代」的方法，实现这个转移方程，时间复杂度和空间复杂度都可以做到O(n)O(n)O(n)。
• 为了优化空间复杂度，可以不用保存 f(x−2)f(x−2)f(x−2) 之前的项，只用三个变量来维护 f(x)、f(x−1)f(x)、f(x−1)f(x)、f(x−1) 和 f(x−2)f(x−2)f(x−2)，可以理解成是把「滚动数组思想」应用在了动态规划中，也可以理解成是一种递推，这样把空间复杂度优化到了O(1)O(1)O(1)。
• 随着 n 的不断增大 O(n)O(n)O(n) 可能已经不能满足我们的需要了，我们可以用「矩阵快速幂」的方法把算法加速到O(logn)O(logn)O(logn)。
• 也可以把 n 代入斐波那契数列的通项公式计算结果，但是如果我们用浮点数计算来实现，可能会产生精度误差。

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

说明：给定n是一个正整数。

示例1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例2:

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

• 1 <= n <= 45

进阶：

• 如何用斐波拉契数列的通项公式或矩阵快速幂来解题？

方法一：递推

思路与算法

题目分析：

- 第1级台阶：1种方法（爬1级）
- 第2级台阶：2种方法（爬1级或爬两级）
- 第3级台阶：3种方法（第1级+第2级）
- 第n级台阶：从第n-1级台阶爬1级或从第n-2级台阶爬2级

——递推公式：Fn=Fn−1+Fn−2F_n=F_{n-1}+F_{n-2}Fn​=Fn−1​+Fn−2​

class Solution {
public:int climbStairs(int n) {if(n==1)return 1;if(n==2)return 2;else return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);}
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(2n)O(2^n)O(2n)
• 空间复杂度：O(n)O(n)O(n)

方法二：记忆化递归

思路与算法

减少时间复杂度，避免重复计算

用meno[]数组来记忆每次计算的结果，存储中间结果

class Solution {
public:int climbStairs(int n) {//存储中间结果，避免重复计算int *memo=new int[n+1];return climbStairsMemo(n,memo);}int climbStairsMemo(int n,int memo[]){//判断爬到n级方法是否计算过，若计算过直接返回memo[n]的值if(memo[n]>0){return memo[n];}if(n==1){memo[n]=1;}else if(n==2){memo[n]=2;}else{memo[n]=climbStairsMemo(n-1,memo)+climbStairsMemo(n-2,memo);}return memo[n];}
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)O(n)O(n)
• 空间复杂度：O(n)O(n)O(n)

方法三：动态规划

思路与算法

爬到每一级的方法看作一个状态，用dp[]数组记录状态，从1-n依次更新每个状态。

虽然在动态规划算法中记录了全部n个状态，但只有两个状态在更新下一个状态的时候才被用到；若只记录这两个状态，就可以将空间复杂度从O(n)O(n)O(n)优化到O(1)O(1)O(1)。

class Solution {
public:int climbStairs(int n) {if(n==1){return 1;} //dp[]记录n个状态int *dp=new int[n+1];dp[1]=1;dp[2]=2;//从1-n依次更新for(int i=3;i<=n;i++){dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];}return dp[n]; }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)O(n)O(n)
• 空间复杂度：O(n)O(n)O(n)

方法四：斐波拉契数列

思路与算法

将爬楼梯问题转换成斐波拉契数列问题。

用滚动数组记录n-1和n-2两个状态

每次状态更新之后，先把状态2移动到状态1的位置，再把状态3移动到状态2的位置，把状态整体向前滚动一位，

class Solution {
public:int climbStairs(int n) {if(n==1){return 1;} int first=1;int second=2;for(int i=3;i<=n;i++){int third=first+second;//滚动数组first=second;second=third;}return second; }
} ; 

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)O(n)O(n)
• 空间复杂度：O(1)O(1)O(1)