文章目录

• lattice regression
• • 1.Monotonic Calibrated Interpolated Look-Up Tables
  • • 1.1 单调性的约束
    • 1.2. 快速多维线性插值 和 单纯形插值法
    • 1.3. 鼓励线性的正则化函数
  • 2.lattice regression各种正则化的效果差异
  • • 2.1 生成二维曲面示例：
    • 2.2 graph laplacian regularizer
    • 2.3 graph hessian regularizer
    • 2.4 torsion regularizer
    • 2.5 单调性约束
  • 3.Nonuniform Lattice Regression for Modeling the Camera Imaging Pipeline
  • • 3.1. 模块所处的位置
    • 3.2. 构建lattice model
    • 3.3 由于色域的变化并不是均匀的，因此采用non-uniform的lattice 会不会更好？
    • 3.4. 重新求解lattice regression
    • 3.5. 实验

lattice regression

1.Monotonic Calibrated Interpolated Look-Up Tables

Fast and Flexible Monotonic Functions with
Ensembles of Lattices

两篇论文都比较偏理论，涉及数学和比较早的论文引用，有些细节不是很容易懂。

1.1 单调性的约束

A 的每一行都是 1，-1， 1，-1.。。

1.2. 快速多维线性插值 和 单纯形插值法

Fast Multilinear Interpolation
Simplex Linear Interpolation
两个快速插值的方法

1.3. 鼓励线性的正则化函数

在lattice regression 相关论文中又介绍 graph laplacian 正则化 和 graph hessian正则化。
graph laplacian 正则化 是约束相邻的node， 因此向外推断时，趋势会比较平坦。
graph hessian正则化是 约束相邻的node的 差分，因此向外推断时，趋势会保持内部的变化趋势。

2.lattice regression各种正则化的效果差异

2.1 生成二维曲面示例：

生成二维曲面 lattice regression论文中的示例

2.2 graph laplacian regularizer

在边缘趋向于平坦，维持值不变的

2.3 graph hessian regularizer

相比于 laplacian regualr， graph hessian regularizer不会压抑 线性，会保持线性

import numpy as npdef get_K(x, dim):s = 0for i in range(dim):for j in range(dim):p = i * dim + jif (j > 0) and (j < dim-1):s += (x[p-1] + x[p+1] - 2*x[p])**2if (i > 0) and (i < dim - 1):s += (x[p-dim] + x[p+dim] - 2*x[p])**2return s / (dim**2)
def get_K2(x, dim):x = x.reshape(dim, dim)dd = dim - 2x1 = x[0:dd, 0:dim]x2 = x[2:dd+2, 0:dim]x3 = x[:, 0:dd]x4 = x[:, 2:dd+2]x12 = x[1:dd+1, 0:dim]x34 = x[:, 1:dd+1]a = (x1 + x2 - 2 * x12) ** 2b = (x3 + x4 - 2 * x34) ** 2return (np.sum(a) + np.sum(b))/ (dim**2)'''验证get_K 和 get_K2等价'''
if __name__ == "__main__":d = 32xxx = np.random.randint(0, 9, (d,d))print(xxx)xxx = xxx.reshape(-1)a = get_K(xxx, d)print(a)b = get_K2(xxx, d)print(b)

在边缘会保持梯度，维持梯度趋势不变

2.4 torsion regularizer

使每个grid保持线性化， 每个grid趋向与 维持 平行四边形，而不是梯形。

2.5 单调性约束

根据两条曲线生成二维曲面

ground truth:

不加单调性正则化：

    def mono_reg(x, dim):x = x.reshape(dim, dim)d = 6delta1 = x[1:6, :] - x[0:5, :]  # r, c = dim-1, dim   > 0delta2 = x[:, 1:6] - x[:, 0:5]  # r, c = dim, dim-1   > 0delta3 = -delta1delta4 = -delta2s = np.mean(np.maximum(0, delta3)**2) + np.mean(np.maximum(0, delta4)**2)return sL = get_L(dim)def mini_fun(x, W, b, n, lamda):x = x.reshape(-1, 1)aa = (W @ x - b) ** 2 / n#bb = get_torsion(x, dim)bb1 = x.T @ L @ xbb = get_K2(x, dim)cc = mono_reg(x, dim)return np.sum(aa) + lamda*np.sum(bb) + 0*np.sum(cc)

加入单调性约束图像效果，在左下角可以看出。

修改上面code最后一行
return np.sum(aa) + lamda*np.sum(bb) + 20*np.sum(cc)

3.Nonuniform Lattice Regression for Modeling the Camera Imaging Pipeline

利用nonuniform lattice regression 进行颜色映射。

3.1. 模块所处的位置

代替ccm和gamma，tone mapping模块

3.2. 构建lattice model

输入 r1,g1,b1 输出 r2,g2,b2
可以先考虑输出一个channel: 输入r1,g1,b1 输出r2 channel.

N 是 每一行的 网格数目，比如 N = 17
m = N^3, 我们要求的是一个查找表，比如r2的数目是 m

损失函数如下：

Wb - y 就是 插值 最小化，不必多说， W是 n行（训练样本数目），m 列的矩阵

Sb是导数平滑项。 比如 a2-0.5a1 + 0.5a3, 那么可以得到一个 N∗N∗(N−2)∗3N*N*(N-2)*3N∗N∗(N−2)∗3行， m列的矩阵。

ρ(b)\rho(b)ρ(b) 是约束边缘的项，因为训练数据分布步会是均匀的，想象在3Dlut中饱和度很大的点训练集中可能不会太多或者缺失，这个时候需要对 3Dlut的边缘位置（像素值达到1的点，想象一个立方体除了与（0，0，0）接触的3条边，剩余9条边，使原来是1的现在仍保持1）

原来是0，0，0的仍然保持0，0，0

因此ρ(b)\rho(b)ρ(b) 是一个 xxx行 m列的矩阵，xxx的数目我也没计算。

最终目标函数的解为：

这里lattice regression的构建和之前有些不同就是 把一些约束合并在矩阵里面。其实含义是一样的。

3.3 由于色域的变化并不是均匀的，因此采用non-uniform的lattice 会不会更好？

作者就是通过一个 transformation 将 uniform变为 non-uniform 3D lut.
就是原来的线性映射到每个node, 改为非线性。
比如原来的一条边 1-255分别对应 3Dlut的 1-255，就是均匀的。

现在要设计一个转换关系，转变为非均匀，像素值为10可能不对应3Dlut的第10格。

这样其实是求一个转换关系，类似于 直方图规定化的一个 查找表。

实际上作者就是构建了一个单调查找表。如何构建呢？
从误差着手。

比如 r1, b1, g1=（1，2，3）查找出来时r2,g2,b2，误差为er1,eb1,eg1。那么（1，2，3）所在的bin 的直方图加上er1,eb1,eg1。 最终可以构建一个1，2，3，4.，，255的直方图，文中时raw图0-1023的直方图。

错误越大，说明该分段 精度越差，需要分配更多的 更细化的 网格。通过图a得到一个图c的转换表。

但是由于直方图中有很多空bin, 因此平滑一下得到b：

然后d就是想要的分布，现在的分布时线性，转换为d的分布，就利用直方图规定化的方法，求一个反向查找表。
首先求累计：

再求反向：

3.4. 重新求解lattice regression

一个转换的查找表得到之后，non-uinform的每个格的顶点位置也确定了，那么 W， Sb, ρ\rhoρ 也需要重新构建,然后求解

3.5. 实验

non-uniform 3dlut比 regular3dlut 效果好，比rbf 效率高，且精度不会降太多。