函数的连续性与间断点
创始人
2024-06-02 07:24:58
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连续性的概念及几何表达
我们用图像来对连续性进行表示：
函数连续性通俗的定义：当自变量x发生微小变化时，函数f(x)也发生微小变化，这就叫做函数的连续性。
函数连续的定义
当x趋近于x0时，f(x)接近于f(x0)
我们进行数学证明：
所以：
我们画出左连续的图像：
右连续和左连续类似，我们不再画图。
连续的充要条件是左连续并且右连续。
函数在区间连续的定义：
例如，f(x)在(a,b)上连续的定义：
f(x)在区间上的每一个点上都连续。
对于闭区间的连续，例如f(x)在[a,b]上连续的定义：
对于闭区间，我们要求左断点右连续，右端点左连续
函数连续的条件：
三个条件，第一个条件是有定义，第二个条件是极限存在，第三个条件是极限和函数值是相等的。
接下来，我们引入间断点：
间断点：
如果f(x)在x0的附近都没有定义，就不需要讨论函数是否连续或间断。
对于函数连续的判定条件中，只要这三条任意一条不满足就是间断。
函数间断点的分类
第一类间断点分为两种情况。
1：左右极限都存在并且相等。
我们可以修改这一点的函数值或者让这一点有定义来去掉这个间断点，所以这个间断点叫做可去间断点。
2：左右极限都存在但是不相等。
这就叫做跳跃间断点
第二类间断点
例题：
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