Table of Contents

1. N(p,k)N(p, k)N(p,k)
2. RRR
3. R∗\mathcal{R}^*R∗
4. Jaccard距离
5. Vp,gj\mathcal{V}_{p, g_j}Vp,gj​​

N(p,k)N(p, k)N(p,k)

1. N(p,k)={g10,g20,...,gk0},∣N(p,k)∣=kN(p, k) = \{g_1^0, g_2^0, ..., g_k^0\}, |N(p, k)| = kN(p,k)={g10​,g20​,...,gk0​},∣N(p,k)∣=k
2. N(p,k)N(p, k)N(p,k) 是查询图像 ppp 的 kkk 最近邻图片集合。

RRR

1. R(p,k)={(gi∈N(p,k))∩(p∈N(gi,k))}\mathcal{R}(p, k) = \{(g_i \in N(p, k)) \cap (p \in N(g_i, k))\}R(p,k)={(gi​∈N(p,k))∩(p∈N(gi​,k))}
   ppp 和 gig_igi​ 互为 kkk 最近邻
2. R(p,k)\mathcal{R}(p, k)R(p,k) 是以 ppp 作为查询图像，在图集中，与 ppp 互为 kkk 最近邻的图片集合。

R∗\mathcal{R}^*R∗

1. 由于照明、姿态、视图、和遮挡的变化，正样本可能不在 N(p,k)N(p, k)N(p,k) 中，进而不在 R(p,k)\mathcal{R}(p, k)R(p,k) 中。

正样本图像可能被从 kkk -最近邻中排除，并且随后不被包括在 kkk -相互最近邻中。为了解决这个问题，我们根据以下条件将 R(p,k)\mathcal{R}(p, k)R(p,k) 中每个候选项的 12k\tfrac{1}{2}k21​k -相互最近邻增量地添加到更鲁棒的集合 R∗(p,k)\mathcal{R}^*(p, k)R∗(p,k) 中：

1. R∗←R(p,k)∪R(q,12k)\mathcal{R}^* \leftarrow \mathcal{R}(p, k) \cup \mathcal{R}(q, \frac{1}{2}k)R∗←R(p,k)∪R(q,21​k)
2. s.t.∣R(p,k)∩R(q,12k)∣≥23∣R(q,12k)∣s.t.\ |\mathcal{R}(p, k) \cap \mathcal{R}(q, \frac{1}{2}k)| \ge \frac{2}{3}|\mathcal{R}(q, \frac{1}{2}k)|s.t. ∣R(p,k)∩R(q,21​k)∣≥32​∣R(q,21​k)∣
3. ∀q∈R(p,k)\forall q \in \mathcal{R}(p, k)∀q∈R(p,k)

Jaccard距离

1. ppp 和 gig_igi​ 的相似性度量取决于 ppp 和 gig_igi​ 各自的邻居。
2. dJ(p,gi)=1−∣R∗(p,k)∩R∗(gi,k)∣∣R∗(p,k)∪R∗(gi,k)∣(5)d_J(p, g_i) = 1 - \frac{|\mathcal{R}^*(p, k) \cap \mathcal{R}^*(g_i, k)|}{|\mathcal{R}^*(p, k) \cup \mathcal{R}^*(g_i, k)|}\ (5)dJ​(p,gi​)=1−∣R∗(p,k)∪R∗(gi​,k)∣∣R∗(p,k)∩R∗(gi​,k)∣​ (5)

Vp,gj\mathcal{V}_{p, g_j}Vp,gj​​

1. Vp=[Vp,g1,Vp,g2,...,Vp,gN]\mathcal{V}_p = [\mathcal{V}_{p, g_1}, \mathcal{V}_{p, g_2}, ..., \mathcal{V}_{p, g_N}]Vp​=[Vp,g1​​,Vp,g2​​,...,Vp,gN​​]

2. Vp,gi={1ifgi∈R∗(p,k)0otherwise.(6)\mathcal{V}_{p, g_i} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & if \ g_i \in \mathcal{R}^*(p, k) \\ 0 & otherwise. \end{array}\right. \ (6)Vp,gi​​={10​if gi​∈R∗(p,k)otherwise.​ (6)
   Vp,gi={e−d(p,gi)ifgi∈R∗(p,k)0otherwise.(7)\mathcal{V}_{p, g_i} = \left\{ \begin{array}{ll} e^{-d(p, g_i)} & if \ g_i \in \mathcal{R}^*(p, k) \\ 0 & otherwise. \end{array}\right. \ (7)Vp,gi​​={e−d(p,gi​)0​if gi​∈R∗(p,k)otherwise.​ (7)

   1. 如果 Vp,gi\mathcal{V}_{p, g_i}Vp,gi​​ 按照公式6中的定义，公式5和公式10是等价的。
   2. 如果 Vp,gi\mathcal{V}_{p, g_i}Vp,gi​​ 按照公式7中的定义，公式5和公式10是近似等价的。

3. gig_igi​ 是图集中的图片， ppp 是查询图像。

4. ∣R∗(p,k)∩R∗(gi,k)∣=∥min⁡(Vp,Vgi)∥1(8)|\mathcal{R}^*(p, k) \cap \mathcal{R}^*(g_i, k)| = \|\min(\mathcal{V}_p, \mathcal{V}_{g_i})\|_1 \ (8)∣R∗(p,k)∩R∗(gi​,k)∣=∥min(Vp​,Vgi​​)∥1​ (8)

5. ∣R∗(p,k)∪R∗(gi,k)∣=∥max⁡(Vp,Vgi)∥1(9)|\mathcal{R}^*(p, k) \cup \mathcal{R}^*(g_i, k) | = \|\max(\mathcal{V}_p, \mathcal{V}_{g_i})\|_1 \ (9)∣R∗(p,k)∪R∗(gi​,k)∣=∥max(Vp​,Vgi​​)∥1​ (9)
   L1范数是指向量中各个元素绝对值之和

6. dJ(p,gi)=1−∑j=1Nmin⁡(Vp,gj,Vgi,gj)∑j=1Nmax⁡(Vp,gj,Vgi,gj)(10)d_J(p_, g_i) = 1 - \frac{\sum_{j=1}^N \min(\mathcal{V}_{p, g_j}, \mathcal{V}_{g_i, g_j})}{\sum_{j=1}^N \max(\mathcal{V}_{p, g_j}, \mathcal{V}_{g_i, g_j})} \ (10)dJ​(p,​gi​)=1−∑j=1N​max(Vp,gj​​,Vgi​,gj​​)∑j=1N​min(Vp,gj​​,Vgi​,gj​​)​ (10)

   如果图像 gjg_jgj​ 既是 ppp 的 kkk 相互最近邻，又是 gig_igi​ 的 kkk 相互最近邻，
   则 min⁡(Vp,gj,Vgi,gj)=1,max⁡(Vp,gj,Vgi,gj)=1\min(\mathcal{V}_{p, g_j}, \mathcal{V}_{g_i, g_j})=1, \max(\mathcal{V}_{p, g_j}, \mathcal{V}_{g_i, g_j})=1min(Vp,gj​​,Vgi​,gj​​)=1,max(Vp,gj​​,Vgi​,gj​​)=1 。