以下是一个使用Python实现的解决方法：

def eliminate_consecutive_chars(string):
    result = ''
    i = 0
    while i < len(string):
        current_char = string[i]
        result += current_char
        count = 1
        while i + count < len(string) and ord(string[i + count]) - ord(current_char) == count:
            count += 1
        i += count
    return result

# 测试示例
input_str = "Sol"
eliminated_str = eliminate_consecutive_chars(input_str)
print(eliminated_str)

运行上述代码，将输出：

Sol

该方法首先创建一个空字符串result，然后遍历输入字符串string。在每次遍历过程中，它比较当前字符与后续字符的ASCII码差值是否与字符位置差值相等。如果相等，说明当前字符与后续字符按字母顺序连续，将计数器count加1。如果不等，将当前字符添加到结果字符串result中，并将遍历指针i增加count的值。重复此过程直到遍历完整个字符串。

这种方法可以处理包含任意大小写字母的字符串，并且能够正确按字母顺序淘汰连续字符。