题目

题意

给定n个数a1,a2,…,an和数x
问a1!+a2!+…+an!是否可以被x!整除

其中k!=k*(k-1)*…*1

思路

对于ai>=x，显然ai!能被x!整除，我们关注ai

• 统计1到x-1的个数。
• 从小到大遍历1到x-1，对于i=i+1，则令count(i)-1,count(i+1)+1。

通过上述操作，有count(i)<=i, 1<=i

我们来证明count(1)*1!+count(2)2!+…count(x-1)(x-1)! < x!
参考

因为k*k!=(k+1-1)*k=(k+1)! - k!
count(i)<=i, 1<=i

所以上述不等式，最大值为
11! + 22! + … (x-1)*x! = (2!-1!)+(3!-2!)+…(x!-(x-1)!)=x!-1

因此，如果count(1),count(2),.count(x-1)不全为0，那么有count(1)*1!+count(2)2!+…count(x-1)(x-1)! < x!，此时a1!+a2!+…+an!不能被x!整除。

代码

#include 
using namespace std;
#define ll long long
#define pcc pair
#define pii pair
#define inf 0x3f3f3f3f
const int maxn = 500010;int n, mp[maxn], x;
void solve() {scanf("%d%d", &n, &x);for (int i = 0, v; i < n; ++i) {scanf("%d", &v);++mp[v];}bool flag = true;for (int i = 1; i < x; ++i) {if (!mp[i]) {continue;}if (mp[i] % (i + 1) != 0) {flag = false;break;}mp[i+1] += mp[i] / (i + 1);}printf("%s\n", flag ? "Yes" : "No");
}
int main() {int t = 1;
//	scanf("%d", &t);int cas = 1;while (t--) {
//		printf("cas %d:\n", cas++);solve();	}}

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