出现这个问题的原因是API Gateway所使用的IAM角色没有正确的权限去扮演指定的STS角色。下面是一种解决方法，其中包含了代码示例：

1. 首先，确保API Gateway的IAM角色已经附加了STS扮演角色的权限。可以使用AWS管理控制台、AWS CLI或者AWS SDK进行操作。

2. 接下来，检查API Gateway的角色是否具有sts:AssumeRole权限。可以通过以下代码片段来为API Gateway角色添加此权限：

{
  "Version": "2012-10-17",
  "Statement": [
    {
      "Effect": "Allow",
      "Action": "sts:AssumeRole",
      "Resource": "arn:aws:iam::[YOUR_ACCOUNT_ID]:role/[YOUR_STS_ROLE]"
    }
  ]
}

确保替换[YOUR_ACCOUNT_ID]和[YOUR_STS_ROLE]为正确的值。

3. 最后，在API Gateway中创建一个自定义授权函数，该函数将扮演所需的STS角色。以下是一个示例代码片段：

const AWS = require('aws-sdk');

exports.handler = async (event) => {
  const sts = new AWS.STS();

  try {
    const assumedRole = await sts.assumeRole({
      RoleArn: '[YOUR_STS_ROLE_ARN]',
      RoleSessionName: '[YOUR_SESSION_NAME]'
    }).promise();

    // 在这里可以使用扮演的角色执行其他操作

    return {
      statusCode: 200,
      // 其他返回值
    };
  } catch (error) {
    console.error(error);
    return {
      statusCode: 500,
      // 错误消息
    };
  }
};

确保替换[YOUR_STS_ROLE_ARN]和[YOUR_SESSION_NAME]为正确的值。

通过以上步骤，您应该能够解决API Gateway没有权限去扮演提供的角色的问题。请注意，这只是一个解决方法的示例，具体的实现方式可能因您的环境和需求而有所不同。