要启用API Gateway的CORS（跨源资源共享），您需要进行以下步骤：

1. 在API Gateway的资源上启用CORS，可以使用AWS Management Console、AWS CLI或AWS SDK来完成。以下是使用AWS CLI的示例代码：

aws apigateway put-method-response \
  --rest-api-id  \
  --resource-id  \
  --http-method OPTIONS \
  --status-code 200 \
  --response-models "{\"application/json\": \"Empty\"}"

aws apigateway put-method-response \
  --rest-api-id  \
  --resource-id  \
  --http-method  \
  --status-code 200 \
  --response-models "{\"application/json\": \"Empty\"}"

aws apigateway put-integration-response \
  --rest-api-id  \
  --resource-id  \
  --http-method  \
  --status-code 200 \
  --response-templates "{\"application/json\": \"\"}"

aws apigateway create-deployment \
  --rest-api-id  \
  --stage-name 

注意：请将替换为您的API Gateway的REST API ID，替换为资源的ID，替换为您的HTTP方法（如GET，POST等），替换为您的API Gateway的阶段名称。

2. 您还需要在API Gateway的集成中启用CORS。以下是使用AWS CLI的示例代码：

aws apigateway put-method \
  --rest-api-id  \
  --resource-id  \
  --http-method  \
  --authorization-type "NONE" \
  --request-parameters "{\"method.request.header.Origin\": false}" \
  --request-models "{\"application/json\": \"Empty\"}"

aws apigateway put-integration-response \
  --rest-api-id  \
  --resource-id  \
  --http-method  \
  --status-code 200 \
  --response-templates "{\"application/json\": \"\"}"

aws apigateway create-deployment \
  --rest-api-id  \
  --stage-name 

同样，请将替换为您的API Gateway的REST API ID，替换为资源的ID，替换为您的HTTP方法（如GET，POST等），替换为您的API Gateway的阶段名称。

3. 最后，您需要在API Gateway的部署中启用CORS。以下是使用AWS CLI的示例代码：

aws apigateway create-deployment \
  --rest-api-id  \
  --stage-name 

同样，请将替换为您的API Gateway的REST API ID，替换为您的API Gateway的阶段名称。

完成上述步骤后，您的API Gateway将启用CORS，并允许跨源请求。