要实现API网关和DynamoDB跨账户集成的解决方案，可以使用以下步骤和代码示例：

步骤1：创建DynamoDB表 首先，在源账户中创建一个DynamoDB表。假设表名为"example-table"，主键为"id"。

步骤2：创建API网关 接下来，在源账户中创建一个API网关，并为其配置相应的资源和方法。可以使用AWS API Gateway服务进行创建和配置。

步骤3：创建IAM角色 在源账户中创建一个IAM角色，用于允许目标账户访问DynamoDB表。

在源账户中创建一个名为"cross-account-role"的IAM角色，并为其分配适当的权限。以下是一个示例角色策略的代码示例：

{
  "Version": "2012-10-17",
  "Statement": [
    {
      "Effect": "Allow",
      "Action": [
        "dynamodb:PutItem",
        "dynamodb:GetItem",
        "dynamodb:UpdateItem",
        "dynamodb:DeleteItem"
      ],
      "Resource": "arn:aws:dynamodb:us-east-1:SOURCE_ACCOUNT_ID:table/example-table"
    }
  ]
}

请将"SOURCE_ACCOUNT_ID"替换为源账户的ID，并将"example-table"替换为DynamoDB表的名称。

步骤4：在目标账户中创建IAM角色 在目标账户中创建一个IAM角色，用于允许API网关从源账户访问DynamoDB表。

在目标账户中创建一个名为"cross-account-role"的IAM角色，并为其分配适当的权限。以下是一个示例角色策略的代码示例：

{
  "Version": "2012-10-17",
  "Statement": [
    {
      "Effect": "Allow",
      "Action": [
        "dynamodb:PutItem",
        "dynamodb:GetItem",
        "dynamodb:UpdateItem",
        "dynamodb:DeleteItem"
      ],
      "Resource": "arn:aws:dynamodb:us-east-1:TARGET_ACCOUNT_ID:table/example-table"
    }
  ]
}

请将"TARGET_ACCOUNT_ID"替换为目标账户的ID，并将"example-table"替换为DynamoDB表的名称。

步骤5：在API网关中配置集成 在API网关中，配置一个集成来调用DynamoDB。在集成配置中，选择“AWS服务”作为集成类型，并提供目标账户的凭证信息和目标DynamoDB表的ARN。

步骤6：测试集成 最后，通过调用API网关的端点来测试集成。API网关将会将请求转发给DynamoDB，并将响应返回给调用者。

这是一个简单的示例代码，用于在API网关中调用DynamoDB表：

import boto3

def lambda_handler(event, context):
    dynamodb = boto3.resource('dynamodb')
    table = dynamodb.Table('example-table')
    
    response = table.put_item(
        Item={
            'id': '123',
            'name': 'John Doe'
        }
    )
    
    return {
        'statusCode': 200,
        'body': 'Item added successfully'
    }

这是一个在Lambda函数中使用boto3库的示例代码。在实际中，您需要根据需要进行适当的错误处理和身份验证。