可以尝试在 AWS Lambda 中添加以下代码来设置响应头：

exports.handler = async (event, context) => {
  const response = {
    statusCode: 200,
    headers: {
      'Access-Control-Allow-Origin': '*',
      // 如果需要限制跨域访问，请使用以下代码
      // 'Access-Control-Allow-Methods': 'OPTIONS,POST',
      // 'Access-Control-Allow-Headers': 'Content-Type,X-Amz-Date,Authorization,X-Api-Key,X-Amz-Security-Token',
      // 'Access-Control-Allow-Credentials': true,
    },
    body: 'Hello from Lambda!',
  };
  return response;
};

在 API Gateway 中，需要设置跨域访问选项以允许不同的域名访问资源。在“Actions”菜单下选择“Enable CORS”，在弹出的窗口中可以设置允许的 HTTP 方法和响应头。例如，如果需要让 GET 和 POST 方法可以进行跨域访问，可以设置如下选项：

• Access-Control-Allow-Origin: *
• Access-Control-Allow-Methods: OPTIONS,GET,POST
• Access-Control-Allow-Headers: Content-Type,X-Amz-Date,Authorization,X-Api-Key,X-Amz-Security-Token

最后，需要确保 Lambda 函数与 API Gateway 资源的集成设置正确。在 API Gateway 中，选择相应的资源并在“Integration Request”下找到设置集成的配置。在“Mapping Templates”中，应该正确设置了请求和响应的映射模板。特别是对于响应模板，需要设置正确的响应头才能正确处理跨域访问。

在以上步骤完成后，应该就可以成功使用 API Gateway 进行跨域访问了。