以下是一个示例代码，可以在Apple TV正在复制缓存文件时显示忙碌状态，完成后继续操作：

import UIKit

class ViewController: UIViewController {
    var activityIndicator: UIActivityIndicatorView!

    override func viewDidLoad() {
        super.viewDidLoad()

        // 创建活动指示器
        activityIndicator = UIActivityIndicatorView(style: .large)
        activityIndicator.center = view.center
        view.addSubview(activityIndicator)
    }

    func startCopyingFiles() {
        // 启动活动指示器
        activityIndicator.startAnimating()

        // 模拟复制文件的操作
        DispatchQueue.global().async {
            // 复制文件的代码...

            // 模拟复制过程延迟
            sleep(5)

            DispatchQueue.main.async {
                // 复制完成后停止活动指示器
                self.activityIndicator.stopAnimating()

                // 这里可以继续其他操作，例如跳转到下一个视图控制器等
            }
        }
    }

    override func viewDidAppear(_ animated: Bool) {
        super.viewDidAppear(animated)

        // 开始复制文件
        startCopyingFiles()
    }
}

在这个示例中，我们在视图加载完成后调用startCopyingFiles()方法来开始复制文件的操作。在startCopyingFiles()方法中，我们首先启动活动指示器，然后在后台队列中进行文件复制操作。在复制操作完成后，我们返回主队列，并停止活动指示器。

你可以根据实际需求，在复制文件的代码部分替换为你自己的业务逻辑。