在ASP.NET Core 3.1中，可以使用Configuration API来读取appsettings.json中的连接字符串。下面是一个示例解决方法：

首先，确保在Startup.cs文件的ConfigureServices方法中添加以下代码：

services.AddDbContext(options =>
    options.UseSqlServer(Configuration.GetConnectionString("DefaultConnection")));

这将添加一个名为DefaultConnection的连接字符串，并将其配置为使用SQL Server提供程序。

接下来，在appsettings.json文件中，确保有一个名为DefaultConnection的连接字符串，如下所示：

{
  "ConnectionStrings": {
    "DefaultConnection": "your_connection_string_here"
  }
}

确保将your_connection_string_here替换为您实际的连接字符串。

最后，在需要访问连接字符串的地方，您可以通过使用IOptions接口来注入连接字符串。例如，您可以在控制器的构造函数中注入连接字符串，如下所示：

private readonly string _connectionString;

public HomeController(IOptions connectionStrings)
{
    _connectionString = connectionStrings.Value.DefaultConnection;
}

这里的ConnectionStringsOptions是一个包含DefaultConnection属性的类，您可以在Startup.cs文件中创建该类，并将其添加到服务容器中，如下所示：

public class ConnectionStringsOptions
{
    public string DefaultConnection { get; set; }
}

// 在Startup.cs的ConfigureServices方法中添加以下代码
services.Configure(Configuration.GetSection("ConnectionStrings"));

这样，您就可以在控制器中访问连接字符串并使用它来建立数据库连接。

请确保按照上述步骤配置和使用连接字符串，以便在ASP.NET Core 3.1中正确读取appsettings.json中的连接字符串。