在ASP.NET Core中，可以使用自定义的路由处理程序来处理路由请求，当控制器不存在时激活该处理程序。以下是一个示例代码：

public class CustomRouteHandler : IRouter
{
    private readonly IRouter _defaultRouter;

    public CustomRouteHandler(IRouter defaultRouter)
    {
        _defaultRouter = defaultRouter;
    }

    public Task RouteAsync(RouteContext context)
    {
        // 检查是否存在对应的控制器
        var controller = context.HttpContext.Request.RouteValues["controller"]?.ToString();
        if (string.IsNullOrEmpty(controller) || !ControllerExists(controller))
        {
            // 如果控制器不存在，激活自定义处理程序
            var action = context.HttpContext.Request.RouteValues["action"]?.ToString();
            if (string.IsNullOrEmpty(action))
            {
                action = "Index"; // 默认的操作方法
            }

            // 执行自定义的操作逻辑
            var customHandler = new CustomHandler();
            var result = customHandler.ProcessRequest(context.HttpContext, action);

            // 设置处理结果
            context.Handler = context => result.ExecuteResultAsync(context);

            // 返回处理成功
            context.IsHandled = true;
            return Task.CompletedTask;
        }

        // 如果控制器存在，使用默认的路由处理程序
        return _defaultRouter.RouteAsync(context);
    }

    public VirtualPathData GetVirtualPath(VirtualPathContext context)
    {
        return _defaultRouter.GetVirtualPath(context);
    }

    private bool ControllerExists(string controllerName)
    {
        // 检查控制器是否存在，例如通过反射等方式
        // 返回true表示存在，返回false表示不存在
        // 这里只是一个示例，实际中需要根据自己的项目来实现
        // 可以使用反射来获取所有控制器，然后判断是否包含指定的控制器名称
        // 也可以根据自己的项目结构和约定来判断控制器是否存在

        // 这里假设控制器都存在，直接返回true
        return true;
    }
}

public class CustomHandler
{
    public IActionResult ProcessRequest(HttpContext httpContext, string action)
    {
        // 自定义的处理逻辑，根据action参数执行对应的操作
        // 这里只是一个示例，实际中需要根据自己的需求来实现

        switch (action)
        {
            case "Index":
                return new ContentResult
                {
                    Content = "CustomHandler: Index action",
                    ContentType = "text/plain"
                };

            case "About":
                return new ContentResult
                {
                    Content = "CustomHandler: About action",
                    ContentType = "text/plain"
                };

            default:
                return new NotFoundResult();
        }
    }
}

然后，在Startup.cs文件中进行配置：

public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
{
    // 注册自定义路由处理程序
    services.AddSingleton();

    // 其他服务注册...
}

public void Configure(IApplicationBuilder app, IHostingEnvironment env)
{
    // 其他中间件配置...

    // 使用自定义路由处理程序
    app.UseRouter(builder =>
    {
        builder.Routes.Add(app.ApplicationServices.GetService());
    });

    // 其他中间件配置...
}

这样，当请求中的控制器不存在时，就会激活自定义的路由处理程序来处理该请求。