要同时使用UseDeveloperExceptionPage()和自定义日志记录，可以按照以下步骤进行操作：

1. 在Startup.cs文件中的ConfigureServices方法中添加日志记录服务，例如使用Serilog：

public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
{
    services.AddLogging(builder =>
    {
        builder.AddSerilog();
    });

    // 添加其他服务...
}

2. 继续在Startup.cs文件的Configure方法中添加日志记录中间件，确保它在异常页面中间件之前执行：

public void Configure(IApplicationBuilder app, IWebHostEnvironment env, ILogger logger)
{
    // 添加其他中间件...

    app.UseExceptionHandler(errorApp =>
    {
        errorApp.Run(async context =>
        {
            context.Response.StatusCode = (int)HttpStatusCode.InternalServerError;
            context.Response.ContentType = "text/plain";

            var exceptionHandlerPathFeature = context.Features.Get();
            var error = exceptionHandlerPathFeature?.Error;

            // 记录异常信息到日志
            logger.LogError(error, "An unhandled exception occurred while processing the request.");

            await context.Response.WriteAsync("An internal server error occurred.");
        });
    });

    // 使用开发者异常页面
    app.UseDeveloperExceptionPage();
    
    // 添加其他中间件...
}

通过以上代码，当发生未处理的异常时，会将异常信息记录到日志中，并在开发环境下显示开发者异常页面。在生产环境下，只会显示自定义错误信息，而不会显示开发者异常页面。