在ASP.NET Core 2 Web API中运行后台任务的解决方法可以使用以下步骤：

1. 创建一个后台任务类，该类包含要在后台运行的代码逻辑。可以在项目中的任何位置创建该类，以下示例将在Controllers文件夹中创建一个名为BackgroundTask的类。

public class BackgroundTask
{
    private readonly ILogger _logger;

    public BackgroundTask(ILogger logger)
    {
        _logger = logger;
    }

    public async Task RunAsync(CancellationToken stoppingToken)
    {
        while (!stoppingToken.IsCancellationRequested)
        {
            // 添加要在后台运行的代码逻辑
            _logger.LogInformation("后台任务正在运行...");

            await Task.Delay(TimeSpan.FromSeconds(10), stoppingToken);
        }
    }
}

2. 在Startup.cs文件的ConfigureServices方法中注册后台任务。

public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
{
    // 注册后台任务
    services.AddHostedService();

    // 其他服务的注册代码...
}

3. 在Startup.cs文件的Configure方法中启动后台任务。

public void Configure(IApplicationBuilder app, IWebHostEnvironment env)
{
    // 其他中间件的配置代码...

    // 启动后台任务
    var lifetime = app.ApplicationServices.GetRequiredService();
    var backgroundTask = app.ApplicationServices.GetRequiredService();
    lifetime.ApplicationStarted.Register(() => 
    {
        Task.Run(() => backgroundTask.RunAsync(lifetime.ApplicationStopping));
    });
}

通过上述步骤，你就可以在ASP.NET Core 2 Web API中创建并运行后台任务了。后台任务将在应用程序启动时开始运行，并且可以在应用程序停止时正确地停止。