在ASP.NET Core 2.2中创建API路由的解决方法如下：

首先，在Startup.cs文件中的ConfigureServices方法中添加以下代码来配置API路由：

public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
{
    services.AddMvc().SetCompatibilityVersion(CompatibilityVersion.Version_2_2);
    services.AddRouting(options => options.LowercaseUrls = true);
}

然后，在Startup.cs文件的Configure方法中添加以下代码来配置路由模板和默认路由：

public void Configure(IApplicationBuilder app, IHostingEnvironment env)
{
    if (env.IsDevelopment())
    {
        app.UseDeveloperExceptionPage();
    }
    else
    {
        app.UseExceptionHandler("/Home/Error");
        app.UseHsts();
    }

    app.UseHttpsRedirection();
    app.UseStaticFiles();
    app.UseCookiePolicy();

    app.UseMvc(routes =>
    {
        routes.MapRoute(
            name: "default",
            template: "{controller=Home}/{action=Index}/{id?}");
    });
}

接下来，创建一个控制器来处理API请求。在Controllers文件夹中创建一个新的类，例如ValuesController.cs，代码如下：

[Route("api/[controller]")]
[ApiController]
public class ValuesController : ControllerBase
{
    // GET api/values
    [HttpGet]
    public ActionResult> Get()
    {
        return new string[] { "value1", "value2" };
    }

    // GET api/values/5
    [HttpGet("{id}")]
    public ActionResult Get(int id)
    {
        return "value";
    }

    // POST api/values
    [HttpPost]
    public void Post([FromBody] string value)
    {
    }

    // PUT api/values/5
    [HttpPut("{id}")]
    public void Put(int id, [FromBody] string value)
    {
    }

    // DELETE api/values/5
    [HttpDelete("{id}")]
    public void Delete(int id)
    {
    }
}

上述代码示例中，我们使用了[Route]和[HttpGet]等属性来定义API的路由和HTTP方法。

最后，启动应用程序，并在浏览器中访问API路由。例如，如果应用程序运行在本地主机上的默认端口号5000，则可以使用以下URL来访问API：

• GET请求：http://localhost:5000/api/values
• POST请求：http://localhost:5000/api/values
• PUT请求：http://localhost:5000/api/values/1
• DELETE请求：http://localhost:5000/api/values/1

这些URL将分别调用ValuesController中的相应方法，并返回响应的数据。

希望这个解决方法能帮助到您！