在ASP.NET Core上使用基于基础API的通用异步try-catch的解决方法可以如下：

首先，你需要定义一个扩展方法，该方法将接收一个Func委托作为参数，并在其中包装try-catch逻辑。此方法的目的是捕获在执行异步操作时可能引发的任何异常，并将其包装在ProblemDetails对象中返回给客户端。

public static class AsyncTryCatchExtensions
{
    public static async Task TryCatchAsync(this ControllerBase controller, Func action)
    {
        try
        {
            await action();
            return controller.Ok();
        }
        catch (Exception ex)
        {
            // 构造 ProblemDetails 对象
            var problemDetails = new ProblemDetails
            {
                Title = "An error occurred",
                Status = (int)HttpStatusCode.InternalServerError,
                Detail = ex.Message
            };

            // 返回带有对应错误信息的ObjectResult
            return controller.StatusCode(problemDetails.Status.Value, problemDetails);
        }
    }
}

接下来，你可以在控制器的操作方法中使用此扩展方法来处理异步操作。

[ApiController]
[Route("api/[controller]")]
public class MyController : ControllerBase
{
    [HttpPost]
    public async Task DoSomethingAsync()
    {
        // 使用扩展方法包装异步操作
        return await this.TryCatchAsync(async () =>
        {
            // 这里执行你的异步操作
            await Task.Delay(1000);
        });
    }
}

在上述代码中，我们调用TryCatchAsync扩展方法，并将要执行的异步操作作为参数传递给它。如果在执行异步操作时发生异常，扩展方法将捕获该异常并返回适当的ObjectResult。

这样，在每个需要进行异步try-catch处理的控制器操作方法中，你只需要简单地调用TryCatchAsync扩展方法即可。这样能够减少重复代码，并使异常处理更加统一和易于维护。