在ASP.NET Core Web API中，可以通过自定义中间件来处理异常。以下是一个解决方案，包含代码示例：

首先，创建一个名为"ExceptionHandlerMiddleware.cs"的自定义中间件类，该类实现了AspNetCore中间件接口：

using Microsoft.AspNetCore.Http;
using Microsoft.Extensions.Logging;
using Newtonsoft.Json;
using System;
using System.Net;
using System.Threading.Tasks;

public class ExceptionHandlerMiddleware
{
    private readonly RequestDelegate _next;
    private readonly ILogger _logger;

    public ExceptionHandlerMiddleware(RequestDelegate next, ILogger logger)
    {
        _next = next;
        _logger = logger;
    }

    public async Task Invoke(HttpContext context)
    {
        try
        {
            await _next(context);
        }
        catch (Exception ex)
        {
            _logger.LogError(ex, "An unhandled exception has occurred.");

            // 自定义异常处理逻辑
            await HandleExceptionAsync(context, ex);
        }
    }

    private async Task HandleExceptionAsync(HttpContext context, Exception ex)
    {
        // 设置响应状态码
        context.Response.StatusCode = (int)HttpStatusCode.InternalServerError;
        context.Response.ContentType = "application/json";

        // 构造自定义异常响应对象
        var response = new
        {
            error = new
            {
                message = ex.Message,
                stackTrace = ex.StackTrace
            }
        };

        // 将异常信息序列化为JSON并写入响应
        await context.Response.WriteAsync(JsonConvert.SerializeObject(response));
    }
}

然后，在Startup.cs文件的Configure方法中添加中间件：

public void Configure(IApplicationBuilder app, IWebHostEnvironment env)
{
    // 其他中间件...

    app.UseMiddleware();

    // 其他中间件...
}

现在，当发生未处理的异常时，将会通过自定义中间件处理异常，并返回一个包含异常信息的JSON响应。

注意：需要确保ExceptionHandlerMiddleware类所在的命名空间已经被正确引用，并且ILogger已经通过DI容器注册。