要解决ASP.NET Core Web API连接不安全的问题，可以采取以下步骤：

1. 使用HTTPS协议：在ASP.NET Core中，使用HTTPS来保护数据传输是一种常见的做法。可以通过配置服务器证书或使用反向代理服务器来启用HTTPS。以下是一个示例，演示如何在ASP.NET Core中配置HTTPS：

public static IWebHostBuilder CreateWebHostBuilder(string[] args) =>
    WebHost.CreateDefaultBuilder(args)
        .UseKestrel(options =>
        {
            options.Listen(IPAddress.Any, 80);
            options.Listen(IPAddress.Any, 443, listenOptions =>
            {
                listenOptions.UseHttps("path_to_certificate_file", "certificate_password");
            });
        })
        .UseStartup();

2. 配置CORS策略：如果你的Web API需要从其他域名的应用程序进行访问，可以使用CORS（跨域资源共享）策略来限制跨域请求。可以在Startup.cs文件的ConfigureServices方法中配置CORS策略。以下是一个示例，演示如何配置允许来自特定域名的跨域请求：

public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
{
    services.AddCors(options => 
    {
        options.AddPolicy("AllowSpecificOrigin", builder =>
        {
            builder.WithOrigins("https://example.com")
                   .AllowAnyHeader()
                   .AllowAnyMethod();
        });
    });

    // 其他服务配置
}

public void Configure(IApplicationBuilder app, IHostingEnvironment env)
{
    app.UseCors("AllowSpecificOrigin");

    // 其他中间件配置
}

3. 使用身份验证和授权：对于需要进行身份验证和授权的API，可以使用ASP.NET Core中提供的身份验证和授权中间件。可以使用基于令牌的身份验证方案，如JWT（JSON Web Token）来保护API。以下是一个示例，演示如何配置JWT身份验证：

public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
{
    services.AddAuthentication(JwtBearerDefaults.AuthenticationScheme)
        .AddJwtBearer(options =>
        {
            options.TokenValidationParameters = new TokenValidationParameters
            {
                ValidateIssuer = true,
                ValidateAudience = true,
                ValidateLifetime = true,
                ValidateIssuerSigningKey = true,
                ValidIssuer = "your_issuer",
                ValidAudience = "your_audience",
                IssuerSigningKey = new SymmetricSecurityKey(Encoding.UTF8.GetBytes("your_signing_key"))
            };
        });

    // 其他服务配置
}

public void Configure(IApplicationBuilder app, IHostingEnvironment env)
{
    app.UseAuthentication();

    // 其他中间件配置
}

通过采取这些步骤，可以增强ASP.NET Core Web API的连接安全性，并保护数据传输和访问控制。请注意，这里提供的只是一些常见的解决方案，具体的实现方式可能因实际需求而有所不同。