在ASP.NET Core中使用MediatR发送请求的解决方法如下所示：

首先，需要在ASP.NET Core项目中安装MediatR和MediatR.Extensions.Microsoft.DependencyInjection扩展包。

dotnet add package MediatR
dotnet add package MediatR.Extensions.Microsoft.DependencyInjection

接下来，创建一个处理程序，该处理程序将处理请求。可以创建一个继承自IRequestHandler接口的类。

using MediatR;
using System.Threading;
using System.Threading.Tasks;

public class MyRequest : IRequest
{
    public string Message { get; set; }
}

public class MyRequestHandler : IRequestHandler
{
    public Task Handle(MyRequest request, CancellationToken cancellationToken)
    {
        // 处理请求并返回响应
        return Task.FromResult($"处理请求：{request.Message}");
    }
}

然后，在Startup.cs文件的ConfigureServices方法中注册MediatR服务。

using MediatR;
using Microsoft.AspNetCore.Builder;
using Microsoft.AspNetCore.Hosting;
using Microsoft.Extensions.Configuration;
using Microsoft.Extensions.DependencyInjection;
using Microsoft.Extensions.Hosting;

public class Startup
{
    public IConfiguration Configuration { get; }

    public Startup(IConfiguration configuration)
    {
        Configuration = configuration;
    }

    public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
    {
        // 注册MediatR服务
        services.AddMediatR(typeof(Startup));

        services.AddControllers();
    }

    public void Configure(IApplicationBuilder app, IWebHostEnvironment env)
    {
        if (env.IsDevelopment())
        {
            app.UseDeveloperExceptionPage();
        }

        app.UseRouting();

        app.UseEndpoints(endpoints =>
        {
            endpoints.MapControllers();
        });
    }
}

现在，可以在控制器中使用MediatR来发送请求。

using MediatR;
using Microsoft.AspNetCore.Mvc;
using System.Threading.Tasks;

[ApiController]
[Route("api/[controller]")]
public class MyController : ControllerBase
{
    private readonly IMediator _mediator;

    public MyController(IMediator mediator)
    {
        _mediator = mediator;
    }

    [HttpGet]
    public async Task Get()
    {
        var request = new MyRequest { Message = "Hello World!" };
        var response = await _mediator.Send(request);

        return Ok(response);
    }
}

现在，当访问/api/my路由时，将发送MyRequest请求并将响应返回给客户端。

以上是使用ASP.NET Core和MediatR发送请求的示例代码。在实际使用中，可以根据需要进行扩展和修改。