在ASP.NET MVC Core中，可以使用Json.NET库来自定义枚举的序列化行为。

首先，需要安装Newtonsoft.Json包。可以在项目文件（csproj）中添加以下代码来安装该包：

然后，在Startup.cs文件的ConfigureServices方法中注册Json.NET作为默认的JSON序列化器：

services.AddControllers().AddNewtonsoftJson();

接下来，可以创建一个自定义的JsonConverter来处理枚举的序列化和反序列化：

using Newtonsoft.Json;
using Newtonsoft.Json.Converters;
using System;

public class EnumToStringConverter : StringEnumConverter where TEnum : Enum
{
    public override object ReadJson(JsonReader reader, Type objectType, object existingValue, JsonSerializer serializer)
    {
        if (reader.TokenType == JsonToken.String)
        {
            string enumString = reader.Value.ToString();
            if (Enum.TryParse(enumString, out TEnum enumValue))
            {
                return enumValue;
            }
        }
        return base.ReadJson(reader, objectType, existingValue, serializer);
    }
}

最后，在需要将枚举序列化为字符串的模型中，使用JsonConverterAttribute来指定使用我们自定义的JsonConverter：

using Newtonsoft.Json;

public class MyModel
{
    [JsonConverter(typeof(EnumToStringConverter))]
    public MyEnum MyEnumProperty { get; set; }
}

这样，当使用ASP.NET MVC Core的API返回MyModel对象时，枚举属性将会被序列化为字符串。

注意：在上面的示例中，MyEnum是一个自定义的枚举类型，你需要将其替换为你自己的枚举类型。