在ASP.NET Web API中处理来自Chrome扩展的并发AJAX调用时，可能会遇到崩溃的问题。这可能是由于并发请求导致的资源争用或其他问题引起的。以下是一些可能的解决方法：

1. 使用异步编程模型：在处理AJAX调用时，使用异步编程模型可以更好地处理并发请求。通过使用异步方法和关键字async和await，可以确保每个请求在完成之前不会阻塞其他请求。

[HttpGet]
public async Task GetData()
{
    // 异步处理数据请求
    // 例如，从数据库中获取数据
    var data = await _dataService.GetData();
    
    return Ok(data);
}

2. 实现互斥锁：在ASP.NET Web API中使用互斥锁可以确保一次只有一个请求可以访问某个关键资源。这可以通过使用lock语句来实现。

private static object _lockObject = new object();

[HttpGet]
public IHttpActionResult GetData()
{
    lock(_lockObject)
    {
        // 处理数据请求
        // 例如，从数据库中获取数据
        var data = _dataService.GetData();
        
        return Ok(data);
    }
}

3. 增加Web API的并发限制：可以通过更改ASP.NET Web API的配置来增加并发请求的限制。可以在Web.config文件中进行配置。

其中，maxConcurrentRequestsPerCPU属性指定每个CPU核心可处理的最大并发请求数。

4. 使用缓存：如果可能的话，可以使用缓存来减轻对底层资源的并发访问。例如，将经常请求的数据缓存在内存中，以避免每次请求时都需要从数据库中获取数据。

private static object _lockObject = new object();
private static List _cachedData;

[HttpGet]
public IHttpActionResult GetData()
{
    if (_cachedData == null)
    {
        lock(_lockObject)
        {
            if (_cachedData == null)
            {
                // 从数据库中获取数据
                _cachedData = _dataService.GetData();
            }
        }
    }
    
    return Ok(_cachedData);
}

以上是一些解决ASP.NET Web API在来自Chrome扩展的并发AJAX调用中崩溃问题的方法。根据具体的场景和需求，可以选择适合的解决方法来解决问题。