要实现ASP.NET WebForms与无Cookie的API之间的通信，您可以使用以下解决方法：

1. 在WebForms页面中使用URL参数进行身份验证和会话管理。您可以在URL中包含一个令牌或身份验证标识，以便API可以验证用户的身份。在每个页面上，您可以使用JavaScript生成包含令牌的URL，并将其传递给API。以下是一个示例代码：

protected void Page_Load(object sender, EventArgs e)
{
    // 从API获取令牌
    string token = GetAPIToken();

    // 生成URL并将令牌添加为查询参数
    string apiUrl = "https://api.example.com/data";
    string url = $"{apiUrl}?token={token}";

    // 使用JavaScript重定向到API页面
    Page.ClientScript.RegisterStartupScript(this.GetType(), "APICall", $"window.location.href = '{url}';", true);
}

private string GetAPIToken()
{
    // 发送API请求以获取令牌
    // 返回API响应并提取令牌
    // 这里假设您已实现获取令牌的逻辑
    string token = "your-api-token";
    return token;
}

2. 在API中使用自定义HTTP头进行身份验证和会话管理。在WebForms页面中，您可以使用ASP.NET的HttpClient类发送HTTP请求并添加自定义头部来进行身份验证。以下是一个示例代码：

protected void Page_Load(object sender, EventArgs e)
{
    // 从API获取令牌
    string token = GetAPIToken();

    // 创建HttpClient对象
    HttpClient httpClient = new HttpClient();

    // 添加自定义头部，用于身份验证
    httpClient.DefaultRequestHeaders.Add("Authorization", "Bearer " + token);

    // 发送请求到API
    string apiUrl = "https://api.example.com/data";
    HttpResponseMessage response = httpClient.GetAsync(apiUrl).Result;

    // 处理API响应
    if (response.IsSuccessStatusCode)
    {
        // 读取API响应数据
        string responseData = response.Content.ReadAsStringAsync().Result;
        // 处理API响应数据
    }
    else
    {
        // 处理API错误
    }
}

private string GetAPIToken()
{
    // 发送API请求以获取令牌
    // 返回API响应并提取令牌
    // 这里假设您已实现获取令牌的逻辑
    string token = "your-api-token";
    return token;
}

以上是两种在ASP.NET WebForms中与无Cookie的API进行通信的解决方法，您可以根据您的需求选择适合的方法。请注意，这些示例代码只是演示了基本的概念，您需要根据实际情况进行适当的修改和扩展。