要实现通过Ajax调用填充下拉框的功能，可以使用Asp.net核心的以下方法：

1. 在HTML页面中添加一个下拉框元素，例如：

2. 在JavaScript中编写Ajax调用的代码，例如：

$(document).ready(function() {
    $.ajax({
        url: 'api/getDropdownData', // 替换为实际的API URL
        type: 'GET',
        success: function(data) {
            // 数据获取成功后，将返回的数据填充到下拉框中
            var dropdown = $('#myDropdown');
            for (var i = 0; i < data.length; i++) {
                dropdown.append($('').val(data[i].value).html(data[i].text));
            }
        },
        error: function() {
            // 处理错误情况
        }
    });
});

3. 在后端编写一个API接口，用于返回下拉框数据。可以使用Asp.net核心的控制器或Web API来实现，例如：

[HttpGet]
[Route("api/getDropdownData")]
public IActionResult GetDropdownData()
{
    // 从数据库或其他数据源获取下拉框数据
    var data = new List
    {
        new DropdownItem { value = "1", text = "Option 1" },
        new DropdownItem { value = "2", text = "Option 2" },
        new DropdownItem { value = "3", text = "Option 3" }
    };

    return Ok(data);
}

public class DropdownItem
{
    public string value { get; set; }
    public string text { get; set; }
}

这样，当页面加载完成时，通过Ajax调用接口获取数据，并将数据填充到下拉框中。