今天的重点还是理解排列和组合对于dp的不同操作, 和遍历顺序的区别, 同时添加了关于min的操作

爬楼梯(进阶)

想一想, 如果一步可以一个台阶, 两个台阶….m个台阶, 问有多少种方法可以爬到楼顶

可以发现, 爬台阶的次数可以无限次用, 所以其实也是个完全背包问题

1. dp[i]数组: 爬到有i个台阶的楼顶, 有dp[i]种方法
2. 递推公式: dp[i] = dp[i - j]
3. 初始化, 仍然dp[0]为1
4. 遍历顺序: 这里1, 2和2, 1是不同种方法, 所以是求排列, 也就是先背包

class Solution {public int climbStairs(int n) {int[] dp = new int[n + 1];int[] weight = {1,2};dp[0] = 1;for (int i = 0; i <= n; i++) {for (int j = 0; j < weight.length; j++) {if (i >= weight[j]) dp[i] += dp[i - weight[j]];}}return dp[n];}
}

零钱兑换

这里问的是最小的硬币个数, 那么很妙的一点其实就是在递推公式里加个min的条件就行了

1. dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
2. 递推公式: dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1), 意思是加上一个钱币
3. 初始化dp[0] = 0. 凑满0元的硬币个数是0, 同时要初始化一个max用来比较最小
4. 遍历顺序: 这里是问钱币最小数, 所以是组合或排列不重要, 都可以

(细节: 需要给dp数组进行赋值;递推公式需满足条件: 如果是初始值就跳过)

class Solution {public int coinChange(int[] coins, int amount) {int[] dp = new int[amount + 1];//初始化最大值int max = Integer.MAX_VALUE;//为什么不能用增强for, 因为这就变成给取出来的数赋值, 而不是给数组赋for(int i = 0; i < dp.length; i++){dp[i] = max;}//初始化dp数组dp[0] = 0;//开始遍历for(int i = 0; i < coins.length; i++){for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){//判断一下不是初始值if(dp[j - coins[i]] != max){dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);}}}return dp[amount] == max? -1 : dp[amount];}
}

完全平方数

提议相当于: 完全平方数就是物品(可以无限使用), 凑个正整数n就是背包, 为凑满这个背包最少有多少个物品, 听起来和上一个零钱兑换一模一样

1. dp[j]: 和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
2. 递推公式: 可以由dp[j - ii]推出, 可以思考一下如何从dp[j - ii]推导dp[j]
3. 初始化: dp[0]表示和为0的完全平方数的最小数量所以为0; 同时因为使用min每次取最小值, 一开始要定义MAX_VALUE才可以保证其不被初始值替代
4. 遍历: 这里从不是从0开始, 因为其平分还是0, 遍历的条件也是i*i(理解j是和, i是component)

class Solution {public int numSquares(int n) {int max = Integer.MAX_VALUE;int[] dp = new int[n + 1];//这里也可以直接用<=n替代for(int i = 0; i < dp.length; i++){dp[i] = max;}//初始化:dp[0] = 0;//这里遍历从i开始就好, 因为0的平分还是0for(int i = 1; i*i <= n; i++){for(int j = i*i; j <= n; j++){//注意这里是判断dp数组if(dp[j - i*i] != max){//记得加一dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i*i] + 1);}}}//这里直接return dp[n]就好return dp[n];}
}