auto.arima是一个在R语言中用于自动拟合ARIMA模型的函数。ARIMA模型是一种常用的时间序列预测方法，可以用于预测未来的观测值。当我们有外生回归变量时，可以使用auto.arima函数进行预测。

auto.arima函数会根据输入的时间序列数据自动选择最优的ARIMA模型。它会通过搜索不同的ARIMA模型，并基于某个准则（如AIC）选择最优模型。当有外生回归变量时，auto.arima函数还可以使用回归变量来改进预测。

下面是一个使用auto.arima函数进行时间序列预测的示例代码：

library(forecast)

# 创建一个包含时间序列和外生回归变量的数据框
data <- data.frame(
  time = 1:100,
  ts = ts(rnorm(100), start = 1),
  regression = rnorm(100)
)

# 使用auto.arima函数进行预测
model <- auto.arima(data$ts, xreg = data$regression)

# 预测未来10个观测值
forecast <- forecast(model, xreg = data.frame(regression = rnorm(10)))

# 输出预测结果
print(forecast)

在上述代码中，我们首先创建了一个包含时间序列和外生回归变量的数据框。然后，我们使用auto.arima函数拟合ARIMA模型，并将外生回归变量作为xreg参数传递给函数。接着，我们使用forecast函数进行未来值的预测，并再次将外生回归变量作为xreg参数传递给函数。最后，我们输出预测结果。

总结起来，auto.arima函数与外生回归变量的预测函数的工作方式是，它会自动选择最优的ARIMA模型，并使用外生回归变量来改进预测。