在使用FragmentPagerAdapter与ViewPager和Material TabLayout时遇到兼容性问题的解决方法如下：

1. 首先，确保你的项目中已经引入了Material Design库。在app module的build.gradle文件中添加以下依赖项：

implementation 'com.google.android.material:material:1.4.0'

2. 在你的布局文件中，将ViewPager和TabLayout组合在一起。例如，你可以使用一个LinearLayout来包含ViewPager和TabLayout，如下所示：

3. 创建一个FragmentPagerAdapter的子类来管理ViewPager中的片段。确保在构造函数中使用getChildFragmentManager()作为FragmentManager参数，以确保正确管理片段的生命周期。例如：

public class MyPagerAdapter extends FragmentPagerAdapter {

    private List fragments;

    public MyPagerAdapter(FragmentManager fm, List fragments) {
        super(fm, BEHAVIOR_RESUME_ONLY_CURRENT_FRAGMENT);
        this.fragments = fragments;
    }

    @NonNull
    @Override
    public Fragment getItem(int position) {
        return fragments.get(position);
    }

    @Override
    public int getCount() {
        return fragments.size();
    }
}

4. 在你的Activity或Fragment中，初始化TabLayout和ViewPager，并设置适配器。例如：

TabLayout tabLayout = findViewById(R.id.tab_layout);
ViewPager viewPager = findViewById(R.id.view_pager);

List fragments = new ArrayList<>();
fragments.add(new Fragment1());
fragments.add(new Fragment2());
fragments.add(new Fragment3());

MyPagerAdapter adapter = new MyPagerAdapter(getChildFragmentManager(), fragments);
viewPager.setAdapter(adapter);
tabLayout.setupWithViewPager(viewPager);

通过以上步骤，你应该能够正确地使用FragmentPagerAdapter与ViewPager和Material TabLayout，并解决兼容性问题。