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隐函数求导例题
创始人
2024-01-20 19:29:33
0次

已知xy=yxx^y=y^xxy=yx确定了yyy是xxx的函数，求y′y'y′

解：
\qquad两边同时取对数得yln⁡x=xln⁡yy\ln x=x\ln yylnx=xlny

\qquad再同时对xxx求导得y′ln⁡x+yx=xy′y+ln⁡yy'\ln x+\dfrac yx=\dfrac{xy'}{y}+\ln yy′lnx+xy​=yxy′​+lny

\qquad移项得y′(ln⁡x−xy)=ln⁡y−yxy'(\ln x-\dfrac xy)=\ln y-\dfrac yxy′(lnx−yx​)=lny−xy​

y′=ln⁡y−yxln⁡x−xy=xyln⁡y−y2xyln⁡y−x2\qquad y'=\dfrac{\ln y-\frac yx}{\ln x-\frac xy}=\dfrac{xy\ln y-y^2}{xy\ln y-x^2}y′=lnx−yx​lny−xy​​=xylny−x2xylny−y2​

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