您可以使用以下代码示例来下载和安装应用程序：

Uri downloadUri = Uri.parse("YOUR_DOWNLOAD_URL");
DownloadManager.Request request = new DownloadManager.Request(downloadUri);

// 设置在下载过程中显示通知栏
request.setNotificationVisibility(DownloadManager.Request.VISIBILITY_VISIBLE_NOTIFY_COMPLETED);
request.setTitle("应用程序下载");
request.setDescription("正在下载应用程序");

// 设置保存下载文件的路径
String fileName = "your_app.apk";
request.setDestinationInExternalPublicDir(Environment.DIRECTORY_DOWNLOADS, fileName);

// 获取DownloadManager实例并开始下载
DownloadManager downloadManager = (DownloadManager) getSystemService(Context.DOWNLOAD_SERVICE);
long downloadId = downloadManager.enqueue(request);

然后，您可以通过监听下载完成的广播来安装下载的应用程序：

// 监听下载完成的广播
BroadcastReceiver downloadCompleteReceiver = new BroadcastReceiver() {
    @Override
    public void onReceive(Context context, Intent intent) {
        long completedDownloadId = intent.getLongExtra(DownloadManager.EXTRA_DOWNLOAD_ID, -1);
        
        if (completedDownloadId == downloadId) {
            // 下载完成，开始安装应用程序
            Intent installIntent = new Intent(Intent.ACTION_VIEW);
            Uri uri = downloadManager.getUriForDownloadedFile(downloadId);
            installIntent.setDataAndType(uri, "application/vnd.android.package-archive");
            installIntent.setFlags(Intent.FLAG_ACTIVITY_NEW_TASK);
            startActivity(installIntent);
            
            // 注销广播接收器
            unregisterReceiver(this);
        }
    }
};

// 注册广播接收器
registerReceiver(downloadCompleteReceiver, new IntentFilter(DownloadManager.ACTION_DOWNLOAD_COMPLETE));

请注意，您需要在Android清单文件中声明相应的权限和广播接收器：

这是一个简单的示例，您可以根据您的需求进行调整和扩展。确保将"YOUR_DOWNLOAD_URL"替换为您要下载的应用程序的实际下载链接。