要解决AWS API Gateway集成响应的正则表达式与Lambda错误不匹配的问题，可以通过以下步骤进行调试和解决：

1. 检查API Gateway集成响应的正则表达式是否正确。确保正则表达式与Lambda函数返回的错误消息匹配。可以使用Online Regex Tester（例如regex101.com）来测试正则表达式是否有效。

2. 检查Lambda函数返回的错误消息是否符合正则表达式的匹配模式。确保错误消息与正则表达式中定义的模式相匹配。可以使用正则表达式工具库（例如re模块）来进行匹配测试。

3. 验证Lambda函数是否正确处理并返回与正则表达式匹配的错误消息。确保Lambda函数返回的错误消息与API Gateway集成响应中定义的正则表达式匹配。

以下是一个示例代码，演示了如何使用API Gateway集成响应的正则表达式与Lambda错误消息进行匹配：

import re

def lambda_handler(event, context):
    # 模拟一个Lambda函数返回的错误消息
    error_message = "User not found"
    
    # 定义正则表达式模式
    regex_pattern = r"User not found"
    
    # 使用re模块进行正则表达式匹配
    match = re.search(regex_pattern, error_message)
    
    if match:
        # 如果错误消息与正则表达式匹配，则返回自定义响应
        return {
            'statusCode': 404,
            'body': 'User not found error'
        }
    else:
        # 如果错误消息不匹配正则表达式，则返回默认的Lambda错误响应
        return {
            'statusCode': 500,
            'body': 'Internal server error'
        }

在上述示例代码中，Lambda函数返回的错误消息是"User not found"。正则表达式的模式也是"User not found"。如果错误消息与正则表达式匹配，则返回自定义的响应，否则返回默认的Lambda错误响应。

通过调试和测试这些代码，您可以确定是否存在正则表达式与Lambda错误不匹配的问题，并根据需要进行调整和修复。