要通过AWS API Gateway WebSocket发送消息给连接，可以使用AWS SDK提供的API来实现。以下是一个使用JavaScript和AWS SDK for JavaScript（AWS SDK）的示例代码：

1. 首先，确保你已经安装了AWS SDK for JavaScript。你可以使用npm（Node.js包管理器）进行安装：

npm install aws-sdk

2. 在你的代码中导入所需的AWS模块：

const AWS = require('aws-sdk');

3. 创建一个AWS.APIGateway管理器实例，并指定所需的AWS配置：

const apiGateway = new AWS.APIGateway({
  region: 'your-region',
  accessKeyId: 'your-access-key-id',
  secretAccessKey: 'your-secret-access-key',
});

4. 使用postToConnection方法发送消息给连接。你需要提供WebSocket API的ID，连接的ID，以及要发送的消息内容：

const params = {
  ConnectionId: 'your-connection-id',
  Data: 'your-message',
  ApiId: 'your-api-id',
};

apiGateway.postToConnection(params, (error, data) => {
  if (error) {
    console.error(error);
  } else {
    console.log('Message sent successfully');
  }
});

确保将your-region，your-access-key-id，your-secret-access-key，your-connection-id和your-api-id替换为实际的值。

这样，你就可以使用AWS API Gateway WebSocket发送消息给连接了。请确保你的AWS配置正确，并且你有足够的权限来执行这些操作。