要将特定的头信息存储到缓存中，并在后续的请求中提取和注入，可以通过使用API Gateway的缓存和Lambda函数来实现。下面是一个解决方法的示例代码：

1. 创建一个Lambda函数，用于处理请求并存储头信息到缓存中。以下是一个Python示例代码：

import json

def lambda_handler(event, context):
    # 检查请求中是否存在特定的头信息
    if 'X-Sample-Header' in event['headers']:
        # 从请求中获取特定的头信息的值
        header_value = event['headers']['X-Sample-Header']
        
        # 将头信息存储到缓存中
        # 假设缓存的键为 'sample-header'
        # 这里使用了AWS Lambda运行时环境的内置缓存功能
        # 也可以使用其他缓存服务如Amazon ElastiCache
        event['context']['cache']['sample-header'] = header_value
        
    return {
        'statusCode': 200,
        'body': json.dumps('Hello from Lambda!')
    }

2. 在API Gateway中创建一个API，并将请求路由到上述的Lambda函数。

3. 配置API Gateway的缓存设置，确保已启用缓存，并指定缓存时间等参数。

4. 创建另一个Lambda函数，用于处理后续的请求并注入之前存储的头信息。以下是一个Python示例代码：

import json

def lambda_handler(event, context):
    # 从缓存中获取之前存储的头信息的值
    # 假设缓存的键为 'sample-header'
    header_value = event['context']['cache']['sample-header']
    
    # 将之前存储的头信息注入到后续的请求中
    event['headers']['X-Sample-Header'] = header_value
    
    return {
        'statusCode': 200,
        'body': json.dumps('Hello from Lambda!')
    }

5. 将后续请求路由到上述的注入头信息的Lambda函数。

通过以上步骤，API Gateway会将特定的头信息存储到缓存中，并在后续的请求中提取和注入到请求中。请根据自己的需求进行适当的调整和扩展。