当使用AWS API网关时，可能会遇到403禁止响应OPTIONS请求的问题。这是由于API网关默认禁止了CORS（跨域资源共享）的OPTIONS请求。以下是解决此问题的代码示例：

1. 使用AWS API网关的Swagger模板：

在AWS API网关控制台中，可以使用Swagger模板来定义API。在Swagger模板中，可以指定CORS配置，以允许OPTIONS请求。

swagger: '2.0'
info:
  version: '1.0'
  title: My API

# 其他配置项...

# 定义CORS配置
x-amazon-apigateway-cors:
  allow-methods: "'OPTIONS,GET,POST'"
  allow-origin: "'*'"

以上示例中，allow-methods指定允许的请求方法，allow-origin指定允许的来源。可以根据实际需求进行配置。

2. 使用Lambda函数自定义处理OPTIONS请求：

如果不想使用Swagger模板或需要更复杂的处理逻辑，可以使用Lambda函数来自定义处理OPTIONS请求。

def lambda_handler(event, context):
    if event['httpMethod'] == 'OPTIONS':
        # 处理OPTIONS请求
        response = {
            'statusCode': 200,
            'headers': {
                'Access-Control-Allow-Origin': '*',
                'Access-Control-Allow-Methods': 'OPTIONS,GET,POST',
                'Access-Control-Allow-Headers': 'Content-Type'
            },
            'body': ''
        }
        return response
    else:
        # 处理其他请求
        # ...

以上示例中，Lambda函数首先检查请求方法是否为OPTIONS，如果是则返回自定义的CORS头部信息，允许跨域请求。否则，继续处理其他请求。

需要注意的是，以上示例使用Python编写的Lambda函数代码，如果使用其他编程语言，需要相应调整代码。

通过以上两种方法，可以解决AWS API网关在收到OPTIONS请求时返回403禁止的问题，并允许跨域请求。